대수학 기초 (Algebra Basics)
대수학은 문자와 기호를 사용하여 수와 연산의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 분야입니다. 9세기 페르시아 수학자 알-콰리즈미(al-Khwarizmi)의 저서에서 "대수(al-jabr)"라는 이름이 유래하였습니다. 이 문서에서는 다항식부터 부등식까지 대수학의 기초를 살펴봅니다.
대수학은 일종의 퍼즐 풀기와 같습니다. 예를 들어 "어떤 수에 3을 더하면 7이 된다"라는 문장이 있을 때, 그 모르는 수를 $x$라 놓고 $x + 3 = 7$이라는 식을 세우면, 답이 $x = 4$임을 알 수 있습니다. 이처럼 대수학은 답은 알지만 빠진 조각을 찾는 과정 — 마치 퍼즐에서 빈칸을 채우는 것과 같은 과정을 체계적으로 다루는 학문입니다.
이런 곳에 쓰여요
- 할인 계산: "정가 × 0.7 × 0.9"처럼 중복 할인을 다항식으로 정리
- 물리학: 포물선 운동 $y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$이 이차식
- 금융: 복리 이자 $(1+r)^n$의 전개에 이항정리 활용
- 게임 개발: 캐릭터 능력치 공식, 데미지 계산식이 다항식으로 구성
난이도: ★★★☆☆ (고등학교 심화)
다항식
다항식(Polynomial)은 변수와 계수로 이루어진 항의 합입니다. 변수 $x$에 대한 $n$차 다항식의 일반형은 다음과 같습니다.
$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \quad (a_n \neq 0)$$$a_n$을 최고차항의 계수(Leading Coefficient), $a_0$를 상수항, $n$을 다항식의 차수(Degree)라 합니다. $\deg(P) = n$으로 표기합니다.
다항식의 연산
두 다항식의 덧셈은 같은 차수의 항끼리 더하며, 곱셈은 분배법칙을 적용합니다.
- 차수 법칙: $\deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q)$
- $\deg(P + Q) \leq \max(\deg(P), \deg(Q))$
곱셈 공식
| 공식 | 전개 |
|---|---|
| $(a+b)^2$ | $a^2 + 2ab + b^2$ |
| $(a-b)^2$ | $a^2 - 2ab + b^2$ |
| $(a+b)(a-b)$ | $a^2 - b^2$ |
| $(a+b)^3$ | $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ |
| $(a-b)^3$ | $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ |
| $(a+b+c)^2$ | $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ |
| $a^3 + b^3$ | $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$ |
| $a^3 - b^3$ | $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$ |
다항식의 나눗셈
다항식 $P(x)$를 다항식 $D(x)$ ($\neq 0$)로 나누면:
$$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x), \qquad \deg(R) < \deg(D)$$$Q(x)$는 몫(Quotient), $R(x)$는 나머지(Remainder)입니다.
예시: $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - x + 1$을 $D(x) = x - 2$로 나눕니다.
조립제법(Synthetic Division)을 사용하면:
| $2$ | $3$ | $-1$ | $1$ | |
|---|---|---|---|---|
| $2$ | $4$ | $14$ | $26$ | |
| 결과 | $2$ | $7$ | $13$ | $27$ |
따라서 $Q(x) = 2x^2 + 7x + 13$, $R = 27$입니다.
나머지 정리와 인수 정리
나머지 정리(Remainder Theorem): 다항식 $P(x)$를 $(x - a)$로 나눈 나머지는 $P(a)$입니다.
인수 정리(Factor Theorem): $P(a) = 0$이면 $(x - a)$는 $P(x)$의 인수입니다. 역도 성립합니다.
인수분해
인수분해(Factoring)는 다항식을 더 간단한 다항식의 곱으로 나타내는 것입니다. 곱셈 공식의 역방향입니다.
주요 인수분해 공식
| 유형 | 공식 |
|---|---|
| 공통인수 | $ma + mb = m(a+b)$ |
| 완전제곱식 | $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ |
| 합차공식 | $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ |
| 세제곱 합 | $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ |
| 세제곱 차 | $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ |
| $x^2 + (a+b)x + ab$ | $(x+a)(x+b)$ |
| $acx^2 + (ad+bc)x + bd$ | $(ax+b)(cx+d)$ |
완전제곱식의 기하학적 의미
한 변의 길이가 $(a+b)$인 정사각형의 넓이를 4개 영역으로 나누면, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$이 됩니다.
고차 다항식의 인수분해
- 치환법: $x^4 + x^2 + 1 = (x^2)^2 + (x^2) + 1$에서 $t = x^2$로 치환
- 인수 정리 활용: 근을 찾아 $(x - a)$를 뽑아냄
- 대칭식 활용: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
예시
$6x^2 + 11x + 3$을 인수분해합니다.
$ac = 18$이고 합이 $11$인 두 수: $9$와 $2$입니다.
$$6x^2 + 9x + 2x + 3 = 3x(2x + 3) + 1(2x + 3) = (3x + 1)(2x + 3)$$이차방정식과 근의 공식
이차방정식(Quadratic Equation)의 일반형은 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$)입니다.
근의 공식 유도
완전제곱식을 이용하여 유도합니다:
$$\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= 0 \\ x^2 + \frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \end{aligned}$$ $$\boxed{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$$판별식
판별식(Discriminant) $D = b^2 - 4ac$의 부호에 따라 근의 개수가 결정됩니다.
| 판별식 | 근의 성질 | 그래프와 $x$축의 관계 |
|---|---|---|
| $D > 0$ | 서로 다른 두 실근 | 두 점에서 만남 |
| $D = 0$ | 중근 (하나의 실근) | 한 점에서 접함 |
| $D < 0$ | 서로 다른 두 허근 (복소근) | 만나지 않음 |
이차함수의 그래프와 근
이차함수 $y = x^2 - 2x - 3$의 그래프. x축과 만나는 점($x = -1$, $x = 3$)이 이차방정식의 근입니다.
근과 계수의 관계 (비에타 공식)
이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면:
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$$이를 이용하면 근을 직접 구하지 않고도 근에 관한 대칭식의 값을 구할 수 있습니다:
- $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
- $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$
- $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$
예시: $2x^2 - 5x + 3 = 0$의 두 근의 제곱합 $\alpha^2 + \beta^2$을 구합니다.
$\alpha + \beta = \frac{5}{2}$, $\alpha\beta = \frac{3}{2}$이므로:
$$\alpha^2 + \beta^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{25}{4} - 3 = \frac{13}{4}$$일반화된 비에타 공식
$n$차 다항식 $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0$의 근을 $r_1, r_2, \ldots, r_n$이라 하면:
$$\sum_{i=1}^{n} r_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n}, \qquad \sum_{i고차방정식
삼차방정식
$x^3 + px + q = 0$ (일반 삼차방정식은 치환으로 이 형태로 변환 가능)의 근은 카르다노 공식으로 구할 수 있습니다:
$$x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$$사차방정식
사차방정식에 대해서도 근의 공식이 존재합니다 (페라리 공식, 1545).
아벨-루피니 정리
연립방정식
연립방정식(System of Equations)은 두 개 이상의 방정식을 동시에 만족하는 해를 구하는 문제입니다.
이원일차연립방정식
$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$풀이 방법
| 방법 | 설명 | 장점 |
|---|---|---|
| 대입법 | 한 방정식에서 한 변수를 다른 변수로 표현하여 대입 | 계수가 1인 경우 편리 |
| 가감법(소거법) | 한 변수의 계수를 맞추어 더하거나 빼서 소거 | 가장 범용적 |
| 크래머 공식 | 행렬식을 이용 | 공식적이고 체계적 |
크래머 공식
$$x = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}$$해의 존재성
$\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1$로 놓으면:
| 조건 | 해의 개수 | 기하학적 의미 |
|---|---|---|
| $\Delta \neq 0$ | 유일한 해 | 두 직선이 한 점에서 만남 |
| $\Delta = 0$, 비례 조건 성립 | 무수히 많은 해 (부정) | 두 직선이 일치 |
| $\Delta = 0$, 비례 조건 불성립 | 해 없음 (불능) | 두 직선이 평행 |
예시: 대입법
$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$$첫 번째 식에서 $y = 5 - 2x$. 두 번째 식에 대입:
$$x - 3(5 - 2x) = -1 \implies x - 15 + 6x = -1 \implies 7x = 14 \implies x = 2$$$y = 5 - 2(2) = 1$. 따라서 해는 $(x, y) = (2, 1)$입니다.
지수 (Exponents)
지수(Exponent)란 같은 수를 반복하여 곱하는 것을 간결하게 나타내는 표기법입니다. 예를 들어 $2$를 $5$번 곱하면:
$$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$$여기서 $2$를 밑(Base), $5$를 지수(Exponent)라 하며, $2^5$을 "$2$의 $5$제곱" 또는 "$2$의 $5$승"이라 읽습니다.
지수의 기본 정의
자연수 지수의 정의는 다음과 같습니다.
$$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{개}} \quad (n\text{은 자연수})$$예시:
- $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
- $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
- $10^6 = 1{,}000{,}000$ (백만)
지수 법칙
$a > 0$이고 $m$, $n$이 실수일 때, 다음 법칙들이 성립합니다.
| 법칙 | 공식 | 직관적 의미 |
|---|---|---|
| 곱셈 | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $m$번 곱하고 $n$번 더 곱하면 총 $m+n$번 곱한 것 |
| 나눗셈 | $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | $m$번 곱한 것에서 $n$번 곱한 것을 나누면 $m-n$번 곱한 것 |
| 거듭제곱의 거듭제곱 | $(a^m)^n = a^{mn}$ | "$m$번 곱한 것"을 $n$번 반복하면 총 $m \times n$번 곱한 것 |
| 곱의 거듭제곱 | $(ab)^n = a^n b^n$ | $(ab)$를 $n$번 곱하면 $a$를 $n$번, $b$를 $n$번 곱한 것 |
지수 법칙의 단계별 예시
곱셈 법칙: $2^3 \cdot 2^4$를 계산합니다.
$$2^3 \cdot 2^4 = \underbrace{(2 \times 2 \times 2)}_{3\text{개}} \times \underbrace{(2 \times 2 \times 2 \times 2)}_{4\text{개}} = \underbrace{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}_{7\text{개}} = 2^7 = 128$$$2$를 $3$번 곱하고 $4$번 더 곱하였으므로 총 $3 + 4 = 7$번 곱한 것입니다.
나눗셈 법칙: $\dfrac{3^5}{3^2}$를 계산합니다.
$$\frac{3^5}{3^2} = \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3} = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$$분자와 분모에서 $3$이 $2$개씩 약분되어 $5 - 2 = 3$개가 남습니다.
거듭제곱의 거듭제곱: $(2^3)^2$를 계산합니다.
$$(2^3)^2 = 2^3 \times 2^3 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) = 2^6 = 64$$"$2$를 $3$번 곱한 것"을 $2$번 반복하였으므로 $3 \times 2 = 6$번 곱한 것입니다.
영지수: $a^0 = 1$이 되는 이유
$a \neq 0$일 때, $a^0 = 1$이라는 결과가 자연스럽게 나옵니다. 왜 그런지 두 가지 방법으로 이해할 수 있습니다.
방법 1: 나눗셈 법칙으로부터
나눗셈 법칙 $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$에서 $m = n$을 대입하면:
$$a^{n-n} = \frac{a^n}{a^n} = 1$$$n - n = 0$이므로 $a^0 = 1$이 됩니다. 어떤 수든 자기 자신으로 나누면 $1$이 되는 것과 같은 원리입니다.
방법 2: 패턴으로부터
$2$의 거듭제곱을 내려가면서 살펴봅니다.
| 지수 | 값 | 패턴 |
|---|---|---|
| $2^4$ | $16$ | |
| $2^3$ | $8$ | $16 \div 2 = 8$ |
| $2^2$ | $4$ | $8 \div 2 = 4$ |
| $2^1$ | $2$ | $4 \div 2 = 2$ |
| $2^0$ | $\mathbf{1}$ | $2 \div 2 = \mathbf{1}$ |
지수가 $1$씩 줄어들 때마다 값이 밑으로 나눠지는 패턴이 있습니다. 이 패턴을 유지하면 $2^0 = 1$이 자연스럽게 결정됩니다.
음의 지수: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$이 되는 이유
$a \neq 0$일 때, 음의 지수는 역수를 의미합니다. 왜 그런지 알아봅니다.
나눗셈 법칙에서 유도:
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$에서 $m < n$인 경우를 생각합니다. 예를 들어:
$$\frac{a^2}{a^5} = \frac{a \times a}{a \times a \times a \times a \times a} = \frac{1}{a \times a \times a} = \frac{1}{a^3}$$한편, 나눗셈 법칙에 의하면 $\dfrac{a^2}{a^5} = a^{2-5} = a^{-3}$입니다.
두 결과를 비교하면:
$$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$$일반적으로 $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$이 됩니다.
패턴으로 확인: 앞서 본 패턴을 $0$ 아래로 계속 이어봅니다.
| 지수 | 값 | 패턴 |
|---|---|---|
| $2^2$ | $4$ | |
| $2^1$ | $2$ | $4 \div 2 = 2$ |
| $2^0$ | $1$ | $2 \div 2 = 1$ |
| $2^{-1}$ | $\frac{1}{2}$ | $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ |
| $2^{-2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4}$ |
| $2^{-3}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{8}$ |
단계별 예시: $5^{-2}$를 계산합니다.
$$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0.04$$분수 지수: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$가 되는 이유
분수(유리수) 지수는 거듭제곱근과 연결됩니다. 왜 그런지 거듭제곱의 거듭제곱 법칙에서 출발합니다.
유도: $(a^m)^n = a^{mn}$이 분수 지수에서도 성립한다고 가정합니다. $a^{1/n}$을 $n$번 거듭제곱하면:
$$(a^{1/n})^n = a^{(1/n) \times n} = a^1 = a$$즉, $a^{1/n}$은 "$n$번 거듭제곱하면 $a$가 되는 수"입니다. 이것이 바로 $n$제곱근 $\sqrt[n]{a}$의 정의입니다.
$$\boxed{a^{1/n} = \sqrt[n]{a}}$$더 일반적으로, 분수 지수 $a^{m/n}$은 다음과 같이 해석합니다.
$$a^{m/n} = \left(a^{1/n}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$$단계별 예시:
- $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$ (왜냐하면 $2^3 = 8$)
- $27^{2/3} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$
- $16^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$
- $100^{1/2} = \sqrt{100} = 10$
지수 법칙 종합 정리
$a > 0$, $a \neq 1$이고 $m$, $n$이 실수일 때:
| 법칙 | 공식 |
|---|---|
| 곱셈 | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ |
| 나눗셈 | $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ |
| 거듭제곱의 거듭제곱 | $(a^m)^n = a^{mn}$ |
| 곱의 거듭제곱 | $(ab)^n = a^n b^n$ |
| 영지수 | $a^0 = 1$ |
| 음의 지수 | $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ |
| 분수 지수 | $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ |
지수함수 (Exponential Functions)
지수함수(Exponential Function)란 밑이 상수이고 지수가 변수인 함수입니다.
$$f(x) = a^x \quad (a > 0,\; a \neq 1)$$"$x$가 $1$만큼 증가할 때마다 함수값이 $a$배가 된다"는 것이 지수함수의 핵심적인 특징입니다.
지수함수의 성질
| 성질 | $a > 1$일 때 | $0 < a < 1$일 때 |
|---|---|---|
| 그래프 방향 | 오른쪽으로 갈수록 급격히 증가 | 오른쪽으로 갈수록 급격히 감소 |
| 정의역 | 모든 실수 $(-\infty, \infty)$ | 모든 실수 $(-\infty, \infty)$ |
| 치역 | $(0, \infty)$ — 항상 양수 | $(0, \infty)$ — 항상 양수 |
| 반드시 지나는 점 | $(0, 1)$ — $a^0 = 1$이므로 | $(0, 1)$ — $a^0 = 1$이므로 |
| 점근선 | $x$축 ($y = 0$)이 수평 점근선 | $x$축 ($y = 0$)이 수평 점근선 |
지수함수의 그래프
지수함수 $y = 2^x$와 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$의 그래프
두 그래프 모두 점 $(0, 1)$을 지나며, $x$축이 수평 점근선입니다. $a > 1$이면 증가, $0 < a < 1$이면 감소합니다.
로그 (Logarithms)
로그(Logarithm)는 지수의 역연산입니다. "밑을 몇 제곱해야 어떤 수가 되는가?"라는 질문에 답합니다.
로그의 정의
$$\log_a b = c \iff a^c = b \quad (a > 0,\; a \neq 1,\; b > 0)$$이것을 말로 풀면: "$a$를 $c$제곱하면 $b$가 된다"는 것을 "$a$를 밑으로 하는 $b$의 로그는 $c$이다"라고 표현합니다.
예시:
| 지수 표현 | 로그 표현 | 풀이 |
|---|---|---|
| $2^5 = 32$ | $\log_2 32 = 5$ | 2를 5번 곱하면 32 |
| $3^4 = 81$ | $\log_3 81 = 4$ | 3을 4번 곱하면 81 |
| $10^3 = 1000$ | $\log_{10} 1000 = 3$ | 10을 3번 곱하면 1000 |
| $5^{-1} = \frac{1}{5}$ | $\log_5 \frac{1}{5} = -1$ | 5의 -1승은 1/5 |
| $4^{1/2} = 2$ | $\log_4 2 = \frac{1}{2}$ | 4의 제곱근이 2 |
로그 법칙
지수 법칙으로부터 로그 법칙이 유도됩니다. 그 이유를 함께 살펴봅니다.
| 법칙 | 공식 | 유래하는 지수 법칙 |
|---|---|---|
| 곱의 로그 | $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ |
| 몫의 로그 | $\log_a\dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ | $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ |
| 거듭제곱의 로그 | $\log_a M^k = k \log_a M$ | $(a^m)^k = a^{mk}$ |
| 밑변환 공식 | $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ | — |
| 역수 관계 | $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ | — |
곱의 로그 법칙 유도 (왜 이렇게 되는가):
$\log_a M = p$, $\log_a N = q$라 놓으면 $M = a^p$, $N = a^q$입니다. 그러면:
$$MN = a^p \cdot a^q = a^{p+q}$$양변에 로그를 취하면:
$$\log_a(MN) = p + q = \log_a M + \log_a N$$즉, 곱셈이 지수에서는 덧셈이 되므로, 로그에서도 곱이 합으로 변환됩니다.
단계별 예시: $\log_2 48 - \log_2 3$을 계산합니다.
$$\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 \frac{48}{3} = \log_2 16 = 4$$$2^4 = 16$이므로 답은 $4$입니다.
특수한 로그
- 상용로그(Common Logarithm): $\log_{10} x = \lg x$. 공학과 과학에서 많이 사용합니다. 예: 지진의 규모(리히터 규모), 소리의 크기(데시벨).
- 자연로그(Natural Logarithm): $\log_e x = \ln x$. 미적분학에서 가장 자연스러운 로그입니다. 여기서 $e \approx 2.71828$은 자연상수입니다.
- 이진로그(Binary Logarithm): $\log_2 x$. 컴퓨터 과학에서 알고리즘의 효율성을 분석할 때 사용합니다.
자연상수 $e$와 자연로그
자연상수 $e$는 수학에서 $\pi$만큼이나 중요한 상수입니다. 다음과 같이 정의됩니다.
$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828\ldots$$왜 이 수가 "자연스러운" 것입니까?
은행에 연이율 100%(=1)로 1원을 예금한다고 합니다.
- 1년에 1번 이자 계산: $\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2$원
- 6개월마다 (연 2회): $\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2.25$원
- 매 분기 (연 4회): $\left(1 + \frac{1}{4}\right)^4 \approx 2.4414$원
- 매월 (연 12회): $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.6130$원
- 매일 (연 365회): $\left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.7146$원
- 무한히 자주: $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \approx 2.7183$원
이자를 무한히 자주 복리 계산하더라도 무한대로 늘어나지 않고, $e$라는 값에 수렴합니다. 이 $e$가 연속적인 성장의 근본적인 상수이며, 미적분학에서 $\frac{d}{dx}e^x = e^x$라는 아름다운 성질을 가집니다.
지수와 로그의 실생활 응용
지수와 로그는 일상생활과 과학에서 놀라울 정도로 많이 사용됩니다. 대표적인 응용 사례를 살펴봅니다.
복리 이자 (Compound Interest)
원금 $P$원을 연이율 $r$로 $t$년간 예금할 때, $n$번 복리 계산하면:
$$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$연속 복리(무한히 자주 이자 계산)일 때:
$$A = Pe^{rt}$$예시: 100만 원을 연이율 5%로 10년간 예금합니다.
- 단리: $100 \times (1 + 0.05 \times 10) = 150$만 원
- 연 복리: $100 \times (1.05)^{10} \approx 162.89$만 원
- 연속 복리: $100 \times e^{0.5} \approx 164.87$만 원
복리의 마법으로 12.89만 원~14.87만 원이 더 불어났습니다.
인구 성장 (Population Growth)
인구가 현재 $P_0$명이고, 연간 $r$의 비율로 증가한다면 $t$년 후 인구는:
$$P(t) = P_0 \cdot e^{rt}$$예시: 어떤 도시의 인구가 50만 명이고 연간 2%씩 증가합니다. 35년 후 인구는?
$$P(35) = 500{,}000 \times e^{0.02 \times 35} = 500{,}000 \times e^{0.7} \approx 500{,}000 \times 2.0138 \approx 1{,}006{,}900\text{명}$$약 35년 만에 인구가 2배로 늘어납니다.
방사성 붕괴 (Radioactive Decay)
방사성 물질의 양은 시간이 지남에 따라 지수적으로 감소합니다.
$$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$$여기서 $t_{1/2}$는 반감기(Half-life), 즉 물질의 양이 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간입니다.
예시: 탄소-14의 반감기는 약 5,730년입니다. 고고학에서 유물의 탄소-14 잔존량을 측정하면 연대를 추정할 수 있습니다. 탄소-14가 원래의 25%만 남아 있다면:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730} = 0.25 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$$ $$\frac{t}{5730} = 2 \implies t = 11{,}460\text{년}$$약 11,460년 전의 유물임을 알 수 있습니다.
데시벨과 리히터 규모 (로그 척도)
사람이 감지하는 소리나 지진의 에너지는 범위가 매우 넓기 때문에, 로그 척도를 사용합니다.
- 소리 크기(데시벨): $L = 10 \log_{10} \dfrac{I}{I_0}$ (dB). 소리 세기가 10배가 되면 10dB 증가합니다.
- 지진 규모(리히터): 규모가 1 증가할 때마다 에너지는 약 $10^{1.5} \approx 31.6$배 증가합니다. 규모 7 지진은 규모 5 지진보다 $31.6^2 \approx 1{,}000$배 강합니다.
- 산성도(pH): $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$. 수소 이온 농도의 로그 척도입니다.
예시: $\log_2 32 = 5$이고 ($2^5 = 32$), $\ln e^3 = 3$입니다.
부등식
부등식(Inequality)은 두 수량 사이의 대소 관계를 나타내는 식입니다.
부등식의 기본 성질
- $a > b$이면 $a + c > b + c$ (덧셈 불변)
- $a > b$이고 $c > 0$이면 $ac > bc$ (양수 곱 보존)
- $a > b$이고 $c < 0$이면 $ac < bc$ (음수 곱은 부등호 반전)
- $a > b > 0$이면 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ (역수는 부등호 반전)
- $a > b \geq 0$이면 $a^n > b^n$ ($n > 0$일 때)
절대값 부등식
$|x| < a$ ($a > 0$)일 때: $-a < x < a$
$|x| > a$ ($a > 0$)일 때: $x < -a$ 또는 $x > a$
삼각 부등식
$$|a + b| \leq |a| + |b|$$ $$\bigl||a| - |b|\bigr| \leq |a - b|$$이차부등식
$ax^2 + bx + c > 0$ ($a > 0$)의 해는 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 근에 따라 결정됩니다.
| 판별식 | $ax^2 + bx + c > 0$ ($a > 0$) | $ax^2 + bx + c < 0$ ($a > 0$) |
|---|---|---|
| $D > 0$ (근 $\alpha < \beta$) | $x < \alpha$ 또는 $x > \beta$ | $\alpha < x < \beta$ |
| $D = 0$ (중근 $\alpha$) | $x \neq \alpha$인 모든 실수 | 해 없음 |
| $D < 0$ | 모든 실수 | 해 없음 |
평균 부등식
산술-기하 평균 부등식 (AM-GM)
양수 $a_1, a_2, \ldots, a_n$에 대하여:
$$\boxed{\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}}$$등호는 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$일 때 성립합니다.
2변수 AM-GM 증명:
$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0 \implies a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0 \implies \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \; \blacksquare$$평균 부등식의 확장
양수 $a$, $b$에 대하여 네 가지 평균 사이에 다음 관계가 성립합니다:
$$\text{HM} \leq \text{GM} \leq \text{AM} \leq \text{QM}$$ $$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$| 평균 | 이름 | 공식 (2변수) |
|---|---|---|
| HM | 조화평균 | $\frac{2ab}{a+b}$ |
| GM | 기하평균 | $\sqrt{ab}$ |
| AM | 산술평균 | $\frac{a+b}{2}$ |
| QM | 제곱평균(RMS) | $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ |
코시-슈바르츠 부등식
$$\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)$$등호는 $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$일 때 성립합니다.
이항정리
이항정리(Binomial Theorem)는 $(a+b)^n$의 전개를 제공합니다.
$$\boxed{(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k}$$여기서 이항계수(Binomial Coefficient)는:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$이항계수의 성질
- $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
- $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (대칭성)
- $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ (파스칼 항등식)
- $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$
파스칼의 삼각형
| $n$ | 이항계수 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||
예시: $(2x - 3)^4$의 전개에서 $x^2$ 항의 계수를 구합니다.
$$\binom{4}{2}(2x)^2(-3)^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 9 = 216x^2$$따라서 $x^2$ 항의 계수는 $216$입니다.
수열
등차수열 (Arithmetic Sequence)
연속된 항의 차가 일정한 수열입니다. 첫째항 $a$, 공차 $d$일 때:
$$a_n = a + (n-1)d, \qquad S_n = \frac{n(2a + (n-1)d)}{2} = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$등비수열 (Geometric Sequence)
연속된 항의 비가 일정한 수열입니다. 첫째항 $a$, 공비 $r$ ($r \neq 0$)일 때:
$$a_n = a \cdot r^{n-1}, \qquad S_n = \begin{cases} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} & (r \neq 1) \\ na & (r = 1) \end{cases}$$무한등비급수
$|r| < 1$일 때 무한등비급수가 수렴합니다:
$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r}$$예시: $0.\overline{9} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{9/10}{1 - 1/10} = 1$
시그마 공식
| 합 | 공식 |
|---|---|
| $\sum_{k=1}^{n} k$ | $\frac{n(n+1)}{2}$ |
| $\sum_{k=1}^{n} k^2$ | $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ |
| $\sum_{k=1}^{n} k^3$ | $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ |
이차방정식의 다양한 풀이법
이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$은 여러 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 각 방법의 장단점을 비교하고, 동일한 문제를 네 가지 방법으로 풀어 봅니다.
예제: $x^2 - 5x + 6 = 0$을 풀어 봅니다.
풀이 1: 인수분해법
곱이 $6$이고 합이 $-5$인 두 수를 찾습니다. $-2$와 $-3$이 해당됩니다.
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$$따라서 $x = 2$ 또는 $x = 3$입니다.
풀이 2: 근의 공식
$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$을 대입합니다.
$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$$x = \frac{5+1}{2} = 3$ 또는 $x = \frac{5-1}{2} = 2$입니다.
풀이 3: 완전제곱식 변환
좌변을 완전제곱식으로 변환합니다.
$$\begin{aligned} x^2 - 5x + 6 &= 0 \\ x^2 - 5x &= -6 \\ x^2 - 5x + \frac{25}{4} &= -6 + \frac{25}{4} = \frac{1}{4} \\ \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 &= \frac{1}{4} \\ x - \frac{5}{2} &= \pm \frac{1}{2} \end{aligned}$$따라서 $x = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3$ 또는 $x = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2$입니다.
풀이 4: 그래프를 이용한 풀이
$y = x^2 - 5x + 6$의 그래프에서 $y = 0$이 되는 점, 즉 $x$축과의 교점을 찾습니다.
- 꼭짓점: $x = \frac{5}{2}$, $y = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = -\frac{1}{4}$이므로 $\left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4}\right)$
- $x$축과의 교점은 그래프에서 $x = 2$, $x = 3$임을 확인할 수 있습니다.
풀이법 비교
| 방법 | 적용 조건 | 장점 | 단점 |
|---|---|---|---|
| 인수분해 | 정수 근이 존재 | 빠르고 간결 | 항상 가능하지 않음 |
| 근의 공식 | 항상 가능 | 범용적, 복소근도 처리 | 계산이 복잡할 수 있음 |
| 완전제곱식 | 항상 가능 | 근의 공식의 원리 이해 | 분수 계산 필요 |
| 그래프법 | 항상 가능 | 직관적, 근의 범위 파악 | 정확한 값 구하기 어려움 |
고차방정식의 풀이
3차 이상의 방정식을 체계적으로 풀기 위한 도구들을 살펴봅니다.
인수정리 활용
예제: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$을 풀어 봅니다.
$P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$이라 놓으면, 인수정리에 의하여 $P(a) = 0$인 $a$를 찾습니다.
- $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ — $x = 1$이 근입니다.
따라서 $(x - 1)$이 인수이므로, 다항식을 $(x-1)$로 나눕니다.
$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x-2)(x-3)$$근은 $x = 1, 2, 3$입니다.
조립제법의 상세 과정
위 예제에서 $P(x)$를 $(x - 1)$로 나누는 조립제법을 수행합니다.
| $1$ | $-6$ | $11$ | $-6$ | |
|---|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $-5$ | $6$ | |
| 결과 | $1$ | $-5$ | $6$ | $\mathbf{0}$ |
나머지가 $0$이므로 $P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$이 확인됩니다.
유리근 정리의 체계적 적용
예제: $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = 0$을 풀어 봅니다.
유리근 정리에 의하여, 유리근 $\frac{p}{q}$의 후보는 다음과 같습니다.
- $p$: 상수항 $3$의 약수 → $\pm 1, \pm 3$
- $q$: 최고차항 계수 $2$의 약수 → $\pm 1, \pm 2$
- 후보: $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$
$P(1) = 2 + 3 - 8 + 3 = 0$이므로 $x = 1$이 근입니다. 조립제법으로 인수분해하면:
$$2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (x - 1)(2x^2 + 5x - 3) = (x - 1)(2x - 1)(x + 3)$$근은 $x = 1, \frac{1}{2}, -3$입니다.
조립제법의 구조
연립방정식 심화
같은 연립방정식을 대입법, 가감법, 행렬법(크래머 공식), 그래프법 네 가지로 풀어 비교합니다.
예제: 다음 연립방정식을 풀어 봅니다.
$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$$풀이 1: 대입법
두 번째 식에서 $x = y + 1$. 첫 번째 식에 대입합니다.
$$3(y + 1) + 2y = 12 \implies 3y + 3 + 2y = 12 \implies 5y = 9 \implies y = \frac{9}{5}$$$x = \frac{9}{5} + 1 = \frac{14}{5}$. 따라서 $(x, y) = \left(\frac{14}{5}, \frac{9}{5}\right)$입니다.
풀이 2: 가감법 (소거법)
두 번째 식에 $2$를 곱하여 $y$의 계수를 맞춥니다.
$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x - 2y = 2 \end{cases}$$두 식을 더하면:
$$5x = 14 \implies x = \frac{14}{5}$$$\frac{14}{5} - y = 1$이므로 $y = \frac{9}{5}$입니다.
풀이 3: 크래머 공식 (행렬법)
$$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -5$$ $$x = \frac{\begin{vmatrix} 12 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{-12 - 2}{-5} = \frac{-14}{-5} = \frac{14}{5}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 12 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}}{-5} = \frac{3 - 12}{-5} = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5}$$풀이 4: 그래프법
두 직선 $y = -\frac{3}{2}x + 6$과 $y = x - 1$을 좌표평면에 그려 교점을 찾습니다. 교점이 $\left(\frac{14}{5}, \frac{9}{5}\right) = (2.8, 1.8)$입니다.
연립방정식의 그래프적 풀이
풀이법 비교
| 방법 | 계산량 | 적합한 상황 |
|---|---|---|
| 대입법 | 보통 | 한 변수의 계수가 1일 때 |
| 가감법 | 적음 | 계수를 쉽게 맞출 수 있을 때 |
| 크래머 공식 | 보통 | 체계적 풀이, 3변수 이상 확장 용이 |
| 그래프법 | 많음 | 해의 존재성·개수 직관적 파악 |
절대값 방정식과 부등식
절대값 $|x|$는 수직선 위에서 원점으로부터의 거리입니다. 이 정의를 활용하면 절대값을 포함하는 방정식과 부등식을 체계적으로 풀 수 있습니다.
절대값의 정의
$$|x| = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}$$예제: $|2x - 3| = 5$
풀이 1 — 정의 활용:
$2x - 3 \geq 0$ ($x \geq \frac{3}{2}$)이면: $2x - 3 = 5 \implies x = 4$ ✓
$2x - 3 < 0$ ($x < \frac{3}{2}$)이면: $-(2x - 3) = 5 \implies x = -1$ ✓
풀이 2 — 경우 분류:
$|A| = B$이면 $A = B$ 또는 $A = -B$ ($B \geq 0$)입니다.
$$2x - 3 = 5 \implies x = 4, \qquad 2x - 3 = -5 \implies x = -1$$풀이 3 — 기하학적 해석:
$|2x - 3| = 5$는 수직선 위에서 $2x - 3$이 원점으로부터 거리 $5$인 점입니다. 즉 $2x - 3 = \pm 5$이므로 $2x = 8$ 또는 $2x = -2$, 곧 $x = 4$ 또는 $x = -1$입니다.
절대값 부등식의 풀이
예제: $|3x + 1| < 7$을 풀어 봅니다.
$$-7 < 3x + 1 < 7 \implies -8 < 3x < 6 \implies -\frac{8}{3} < x < 2$$예제: $|x - 2| + |x + 1| \geq 5$를 풀어 봅니다.
구간을 $x < -1$, $-1 \leq x < 2$, $x \geq 2$로 나누어 절대값을 벗깁니다.
- $x < -1$: $-(x-2) + (-(x+1)) = -2x + 1 \geq 5 \implies x \leq -2$
- $-1 \leq x < 2$: $-(x-2) + (x+1) = 3 \geq 5$ — 거짓이므로 이 구간에서 해 없음
- $x \geq 2$: $(x-2) + (x+1) = 2x - 1 \geq 5 \implies x \geq 3$
따라서 해는 $x \leq -2$ 또는 $x \geq 3$입니다.
지수방정식과 로그방정식
지수와 로그의 성질을 활용하여 방정식을 푸는 방법을 다룹니다.
지수방정식의 풀이
예제 1: $2^{3x-1} = 16$을 풀어 봅니다.
$$2^{3x-1} = 2^4 \implies 3x - 1 = 4 \implies x = \frac{5}{3}$$예제 2: $3^x = 5$를 풀어 봅니다.
양변에 로그를 취합니다.
$$x = \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3} = \frac{\log 5}{\log 3} \approx 1.465$$예제 3 (치환형): $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$을 풀어 봅니다.
$t = 2^x$ ($t > 0$)로 치환하면 $4^x = (2^2)^x = t^2$이므로:
$$t^2 - 3t + 2 = 0 \implies (t - 1)(t - 2) = 0 \implies t = 1 \text{ 또는 } t = 2$$$2^x = 1 \implies x = 0$, $2^x = 2 \implies x = 1$입니다.
로그방정식의 풀이
예제 1: $\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = 3$을 풀어 봅니다.
$$\log_2[(x+3)(x-1)] = 3 \implies (x+3)(x-1) = 8$$ $$x^2 + 2x - 3 = 8 \implies x^2 + 2x - 11 = 0 \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{48}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3}$$진수 조건 $x + 3 > 0$, $x - 1 > 0$에서 $x > 1$이므로, $x = -1 + 2\sqrt{3}$만 해입니다.
예제 2 (밑변환 활용): $\log_4 x + \log_{16} x = 3$을 풀어 봅니다.
밑변환 공식으로 밑을 $2$로 통일합니다.
$$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}, \qquad \log_{16} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 16} = \frac{\log_2 x}{4}$$$t = \log_2 x$로 놓으면:
$$\frac{t}{2} + \frac{t}{4} = 3 \implies \frac{3t}{4} = 3 \implies t = 4$$$\log_2 x = 4$이므로 $x = 2^4 = 16$입니다.
다항식 심화
항등식
항등식(Identity)이란 변수에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하는 등식입니다.
$ax^2 + bx + c = 0$이 항등식이면 $a = b = c = 0$입니다.
예제: $(a + 2)x^2 + (b - 3)x + (c + 1) = 0$이 $x$에 대한 항등식일 때, $a$, $b$, $c$의 값을 구합니다.
각 계수가 $0$이어야 하므로: $a + 2 = 0$, $b - 3 = 0$, $c + 1 = 0$.
따라서 $a = -2$, $b = 3$, $c = -1$입니다.
나머지 정리의 확장
$P(x)$를 $(x - a)(x - b)$로 나눈 나머지는 일차 이하의 다항식 $R(x) = px + q$입니다.
$P(a) = pa + q$, $P(b) = pb + q$를 이용하여 $p$, $q$를 결정합니다.
예제: $P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 3$을 $(x - 1)(x + 2)$로 나눈 나머지를 구합니다.
$R(x) = px + q$라 놓으면:
- $P(1) = 1 + 2 - 1 + 3 = 5 = p + q$
- $P(-2) = -8 + 8 + 2 + 3 = 5 = -2p + q$
$p + q = 5$, $-2p + q = 5$를 풀면 $p = 0$, $q = 5$입니다.
따라서 나머지는 $R(x) = 5$입니다.
최대공약다항식 (GCD)
두 다항식의 최대공약다항식은 유클리드 호제법으로 구할 수 있습니다.
예제: $\gcd(x^3 - 1,\; x^2 - 1)$을 구합니다.
$$x^3 - 1 = (x^2 - 1) \cdot x + (x^2 - x - 1 + 1) \;\text{?}$$실제로 나눗셈을 수행하면:
$$x^3 - 1 = (x^2 - 1) \cdot x + (x - 1)$$ $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) + 0$$나머지가 $0$이 되었으므로 $\gcd(x^3 - 1, x^2 - 1) = x - 1$입니다.
부등식 심화
AM-GM 부등식의 다양한 증명
$a, b > 0$일 때 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$를 세 가지 방법으로 증명합니다.
증명 1 — 제곱의 비음수성:
$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0 \implies a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0 \implies \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \;\blacksquare$$증명 2 — 산술적 변형:
$$\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geq 0 \;\blacksquare$$증명 3 — 기하학적 증명:
반지름 $\frac{a+b}{2}$인 반원에서, 지름 위에 $a$와 $b$의 경계점에서 수선을 세우면 그 높이가 $\sqrt{ab}$입니다. 수선의 높이는 반지름 이하이므로 $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$가 성립합니다.
AM-GM 부등식의 기하학적 의미
지름이 $a + b$인 반원에서 수선의 높이($\sqrt{ab}$, 기하평균)는 반지름($\frac{a+b}{2}$, 산술평균) 이하입니다.
AM-GM의 활용
예제: $x > 0$일 때 $f(x) = x + \frac{4}{x}$의 최솟값을 구합니다.
AM-GM에 의하여:
$$x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$$등호는 $x = \frac{4}{x}$, 즉 $x = 2$일 때 성립합니다. 따라서 최솟값은 $4$입니다.
코시-슈바르츠 부등식의 다양한 형태
벡터 형태: 두 벡터 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$에 대하여:
$$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|$$분수 형태 (엥겔 형태): $b_i > 0$일 때:
$$\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}$$코시-슈바르츠 부등식 증명 (판별식법):
실수 $t$에 대하여 $f(t) = \sum (a_i t - b_i)^2 \geq 0$을 전개합니다.
$$f(t) = \left(\sum a_i^2\right) t^2 - 2\left(\sum a_i b_i\right) t + \sum b_i^2 \geq 0$$이 이차식이 모든 실수 $t$에 대하여 비음수이므로, 판별식 $D \leq 0$입니다.
$$D = 4\left(\sum a_i b_i\right)^2 - 4\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right) \leq 0$$ $$\therefore \left(\sum a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right) \;\blacksquare$$체비셰프 부등식
$a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$이고 $b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$이면 (동순서):
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \geq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i\right)\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} b_i\right)$$역순서이면 부등호 방향이 반대가 됩니다.
수열과 급수 심화
등차수열의 합 공식 — 두 가지 유도
유도 1 — 역순 합 방법 (가우스법):
$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \cdots + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1 \end{aligned}$$두 식을 더하면, 각 위치에서 $a_k + a_{n+1-k} = a_1 + a_n$이므로:
$$2S_n = n(a_1 + a_n) \implies S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$유도 2 — 일반항 대입법:
$a_k = a_1 + (k-1)d$를 대입합니다.
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} [a_1 + (k-1)d] = na_1 + d \sum_{k=1}^{n}(k-1) = na_1 + d \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$$등비수열의 합 공식 — 두 가지 유도
유도 1 — 공비 곱 빼기법:
$$\begin{aligned} S_n &= a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} \\ rS_n &= ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n \end{aligned}$$$S_n - rS_n$을 구하면 중간 항이 모두 소거됩니다.
$$S_n(1 - r) = a - ar^n = a(1 - r^n) \implies S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \quad (r \neq 1)$$유도 2 — 등비 성질 활용:
$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$에서 공비 $r$을 곱하면 첫 항이 $ar$이 되어 원래의 합에서 첫 항을 빼고 $ar^n$을 추가한 것과 같습니다. 이를 정리하면 위와 같은 결과를 얻습니다.
유용한 급수 공식
부분분수 분해를 이용한 급수:
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$이와 같이 연속된 항이 소거되는 급수를 망원급수(Telescoping Series)라 합니다.
복소수와 방정식
실수 범위에서 근이 없는 이차방정식도 복소수 범위에서는 반드시 근을 가집니다.
허수 단위
$i = \sqrt{-1}$, 즉 $i^2 = -1$로 정의합니다. 복소수는 $a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$)의 형태입니다.
판별식 $D < 0$인 이차방정식
예제: $x^2 + 2x + 5 = 0$을 풀어 봅니다.
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$두 근은 $-1 + 2i$와 $-1 - 2i$입니다.
켤레근 정리
증명 개요: $P(x)$가 실수 계수 다항식이고 $P(\alpha) = 0$이면, 양변에 켤레를 취했을 때 $\overline{P(\alpha)} = P(\overline{\alpha}) = 0$이 성립합니다. 이는 계수가 실수이므로 $\overline{a_k} = a_k$이기 때문입니다.
활용 예제: 실수 계수 삼차방정식 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$의 한 근이 $1 + i$일 때, 켤레근 정리에 의하여 $1 - i$도 근입니다. 세 근의 합이 $-a$이므로 나머지 근을 $r$이라 하면:
$$(1+i) + (1-i) + r = -a \implies 2 + r = -a$$근과 계수의 관계를 추가로 이용하면 $a$, $b$, $c$, $r$을 모두 결정할 수 있습니다.
함수의 성질 심화
합성함수
두 함수 $f$와 $g$의 합성함수(Composite Function) $(f \circ g)(x) = f(g(x))$는 $g$를 먼저 적용한 뒤 $f$를 적용하는 함수입니다.
예제: $f(x) = x^2 + 1$, $g(x) = 2x - 3$일 때:
$$\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) = f(2x-3) = (2x-3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 10 \\ (g \circ f)(x) &= g(f(x)) = g(x^2+1) = 2(x^2+1) - 3 = 2x^2 - 1 \end{aligned}$$역함수
함수 $f$가 일대일 대응이면, 역함수(Inverse Function) $f^{-1}$이 존재합니다.
$$f(f^{-1}(x)) = x, \qquad f^{-1}(f(x)) = x$$역함수 구하는 방법:
- $y = f(x)$를 $x$에 대하여 풀어 $x = g(y)$를 구합니다.
- $x$와 $y$를 교환하면 $y = g(x) = f^{-1}(x)$입니다.
예제: $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ ($x \neq 3$)의 역함수를 구합니다.
$$y = \frac{2x + 1}{x - 3} \implies y(x - 3) = 2x + 1 \implies yx - 3y = 2x + 1$$ $$x(y - 2) = 3y + 1 \implies x = \frac{3y + 1}{y - 2}$$따라서 $f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ ($x \neq 2$)입니다.
함수의 대칭성
짝함수(Even Function): $f(-x) = f(x)$. 그래프가 $y$축에 대하여 대칭입니다.
홀함수(Odd Function): $f(-x) = -f(x)$. 그래프가 원점에 대하여 대칭입니다.
| 종류 | 조건 | 대칭축 | 예시 |
|---|---|---|---|
| 짝함수 | $f(-x) = f(x)$ | $y$축 | $x^2$, $\cos x$, $|x|$ |
| 홀함수 | $f(-x) = -f(x)$ | 원점 | $x^3$, $\sin x$, $\tan x$ |
대칭성의 활용:
- 짝함수와 홀함수의 곱은 홀함수입니다.
- 짝함수끼리의 곱은 짝함수입니다.
- 홀함수끼리의 곱은 짝함수입니다.
- 짝함수의 정적분: $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$
- 홀함수의 정적분: $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$
역함수와 $y = x$ 대칭
$f(x) = 2x + 1$과 역함수 $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭입니다.