미적분학 (Calculus)

미적분학은 변화율(미분)과 누적량(적분)을 연구하는 수학의 분야로, 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠에 의해 17세기에 독립적으로 체계화되었습니다. 물리학, 공학, 경제학 등 모든 자연과학과 사회과학의 수학적 기초를 형성합니다.

미적분은 '변화'와 '쌓임'을 다루는 수학입니다. 자동차의 속도가 얼마나 빨리 변하는지(미분), 달린 거리를 속도로부터 구하는 것(적분) — 이런 문제를 정확하게 풀어줍니다.

이런 곳에 쓰여요

선수 지식: 함수의 기초, 대수학 기초

난이도: ★★★☆☆ (고등학교 심화)

극한과 연속

극한이란 무엇입니까?

극한의 직관적 정의

함수 $f(x)$에서 $x$가 $a$에 한없이 가까워질 때 $f(x)$의 값이 $L$에 수렴하면:

이것을 "$x$가 $a$로 갈 때 $f(x)$의 극한은 $L$이다"라고 읽습니다.

수치 표로 확인하기

예를 들어 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$에서 $\lim_{x \to 1} f(x)$를 구해 보겠습니다. $x = 1$을 직접 대입하면 $\frac{0}{0}$이 되어 값을 알 수 없습니다. 그러나 $x$를 1에 가까이 보내면 어떻게 될까요?

왼쪽에서든 오른쪽에서든 $x$가 1에 가까워질수록 $f(x)$는 2에 가까워집니다. 따라서 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$입니다.

좌극한과 우극한

$x$가 $a$보다 작은 쪽에서 접근하는 것을 좌극한(Left-hand Limit), 큰 쪽에서 접근하는 것을 우극한(Right-hand Limit)이라 합니다.

극한 $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 같아야 합니다: $L_1 = L_2 = L$.

엡실론-델타 정의 ($\varepsilon$-$\delta$)

임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 $0 < |x - a| < \delta$이면 $|f(x) - L| < \varepsilon$인 $\delta > 0$가 존재합니다.

예시: $\lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7$을 $\varepsilon$-$\delta$로 증명합니다.

$|f(x) - 7| = |2x + 1 - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3| < \varepsilon$이므로, $\delta = \varepsilon/2$로 놓으면 됩니다. $\blacksquare$

극한의 성질 (극한 법칙)

$\lim_{x \to a} f(x) = L$, $\lim_{x \to a} g(x) = M$일 때:

극한 법칙 활용 예시:

$\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 1)$을 구하겠습니다.

극한 법칙을 적용하면:

중요한 극한

첫 번째 극한 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$은 삼각함수 미분의 기초가 되는 매우 중요한 결과입니다. 수치 표로 확인해 보겠습니다 ($x$는 라디안):

$x$가 0에 가까워질수록 $\frac{\sin x}{x}$는 1에 수렴하는 것을 확인할 수 있습니다.

조임 정리 (Squeeze Theorem)

$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$이고 $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$이면 $\lim_{x \to a} f(x) = L$입니다.

예시: $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\frac{1}{x}$를 구하겠습니다.

$-1 \leq \sin\frac{1}{x} \leq 1$이므로 $-x^2 \leq x^2 \sin\frac{1}{x} \leq x^2$입니다. $\lim_{x \to 0}(-x^2) = 0$이고 $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$이므로, 조임 정리에 의해 $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\frac{1}{x} = 0$입니다.

연속의 정의

함수 $f(x)$가 $x = a$에서 연속(Continuous)이려면 다음 세 조건을 모두 만족해야 합니다.

1. $f(a)$가 정의됩니다.
2. $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재합니다.
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$입니다.

연속함수의 성질

비유: 아침에 집 1층(높이 0m)에서 출발하여 저녁에 옥상(높이 30m)에 도착했다면, 그 사이에 반드시 높이 15m 지점을 지나간 순간이 있습니다. 연속적으로 올라갔기 때문입니다. 이것이 중간값 정리의 핵심입니다.

미분

직선의 기울기에서 곡선의 기울기로

직선 $y = 2x + 3$의 기울기는 어디에서나 2입니다. $x$가 1만큼 증가하면 $y$는 항상 2만큼 증가합니다. 그런데 곡선은 어떨까요?

곡선 $y = x^2$을 생각해 보겠습니다. $x = 1$에서 $x = 3$으로 갈 때와, $x = 5$에서 $x = 7$로 갈 때 $y$의 변화량이 다릅니다. 곡선은 구간에 따라 기울기가 달라집니다. 그렇다면 곡선 위의 한 점에서의 기울기는 어떻게 구할까요?

수치 예시: $f(x) = x^2$에서 $x = 2$일 때의 순간 변화율을 구해 보겠습니다.

$h$가 0에 가까워질수록 변화율이 4에 수렴합니다. 실제로 $f'(x) = 2x$이므로 $f'(2) = 4$입니다.

도함수의 정의

도함수(Derivative)는 함수의 순간 변화율을 나타냅니다.

이 식을 차분몫(Difference Quotient)의 극한이라 합니다. $f'(a)$는 $x = a$에서의 접선의 기울기와 같습니다.

기본 미분 공식

거듭제곱 법칙(Power Rule) 단계별 유도

가장 기본이 되는 공식 $(x^n)' = nx^{n-1}$이 왜 성립하는지 $f(x) = x^3$으로 확인해 보겠습니다.

1단계: $(x+h)^3$을 전개합니다: $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

2단계: $x^3$을 빼면: $3x^2h + 3xh^2 + h^3$

3단계: $h$로 나누면: $3x^2 + 3xh + h^2$

4단계: $h \to 0$으로 보내면: $f'(x) = 3x^2$

공식 $nx^{n-1}$에 $n = 3$을 넣으면 $3x^2$이므로 일치합니다.

미분 법칙

곱의 법칙 — 단계별 예시

문제: $f(x) = x^2 \sin x$를 미분하십시오.

풀이:

1단계: 두 함수를 식별합니다 — $u = x^2$, $v = \sin x$

2단계: 각각 미분합니다 — $u' = 2x$, $v' = \cos x$

3단계: 곱의 법칙 $(uv)' = u'v + uv'$를 적용합니다:

연쇄법칙 — 단계별 예시

문제: $f(x) = \sin(3x^2)$를 미분하십시오.

풀이:

1단계: 합성함수 구조를 파악합니다 — 바깥 함수: $\sin(u)$, 안쪽 함수: $u = 3x^2$

2단계: 바깥 함수를 미분합니다 — $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$

3단계: 안쪽 함수를 미분합니다 — $\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$

4단계: 연쇄법칙 "바깥 미분 $\times$ 안쪽 미분"을 적용합니다:

도함수가 알려주는 것

도함수 $f'(x)$의 부호를 보면 원래 함수 $f(x)$의 행동을 알 수 있습니다.

예시: $f(x) = x^3 - 3x$의 증감을 분석해 보겠습니다.

1단계: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

2단계: $f'(x) = 0$인 점: $x = -1, \; x = 1$

3단계: 부호 분석:

따라서 $x = -1$에서 극대($f(-1) = 2$), $x = 1$에서 극소($f(1) = -2$)를 가집니다.

미분의 응용

접선의 방정식

곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

극값과 최적화

• $f'(c) = 0$ 또는 $f'(c)$ 미정의인 점을 임계점(Critical Point)이라 함
• 1차 도함수 판정법: $f'$의 부호 변화로 극대/극소 판정
• 2차 도함수 판정법: $f'(c) = 0$일 때, $f''(c) > 0$이면 극소, $f''(c) < 0$이면 극대

평균값 정리 (Mean Value Theorem)

기하학적 의미: 접선의 기울기가 할선의 기울기와 같은 점이 반드시 존재합니다.

로피탈 법칙 (L'Hôpital's Rule)

$\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 부정형에서:

(우변의 극한이 존재하거나 $\pm\infty$일 때)

예시:

적분

적분이란 무엇입니까?

일상 속 적분: 자동차의 속도계가 매 순간의 속도(미분값)를 보여준다면, 그 속도를 시간에 걸쳐 쌓아 올리면(적분하면) 총 이동 거리가 됩니다. 미분이 "쪼개는 것"이라면, 적분은 "모으는 것"입니다.

부정적분과 정적분의 차이

적분에는 두 종류가 있습니다.

부정적분 (Indefinite Integral)

$F'(x) = f(x)$일 때 $F(x)$를 $f(x)$의 역도함수(Antiderivative)라 하며:

기본 적분 공식

정적분 (Definite Integral)

구간 $[a, b]$에서 $f(x)$의 정적분은 곡선 아래의 부호 있는 넓이(signed area)입니다.

여기서 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$이고 $x_i^*$는 $i$번째 소구간의 대표점입니다.

리만 합으로 넓이 구해 보기

$\int_0^1 x^2\,dx$를 직사각형으로 근사해 보겠습니다. 구간 $[0, 1]$을 $n$등분하고 오른쪽 끝점을 대표점으로 사용합니다.

조각을 늘릴수록 정확한 넓이 $\frac{1}{3}$에 수렴합니다. 이것이 "극한으로 정의되는 적분"의 의미입니다.

정적분의 성질

• $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ (같은 점에서 같은 점까지이므로 넓이는 0)
• $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$ (방향을 바꾸면 부호가 바뀜)
• $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ (중간에 끊어서 더할 수 있음)
• $f(x) \geq 0$이면 $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$ (양수 함수의 넓이는 양수)

미적분의 기본정리

미적분의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus, FTC)는 미분과 적분이 역연산 관계임을 보여주는 핵심 정리입니다.

제1 기본정리 (미분과 적분의 관계)

$f$가 $[a, b]$에서 연속이면 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$로 정의된 함수에 대하여:

의미: $a$부터 $x$까지의 넓이를 $x$에 대해 미분하면, $x$ 지점에서의 함수값이 됩니다. "누적량의 변화율은 원래 함수"라는 뜻입니다.

제2 기본정리 (뉴턴-라이프니츠 공식)

$f$가 $[a, b]$에서 연속이고 $F$가 $f$의 역도함수이면:

의미: 정적분(넓이)을 구하려면, 역도함수 $F$를 찾아서 양 끝점에서의 값의 차이만 구하면 됩니다.

예시 (단계별 풀이): $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$를 구하겠습니다.

1단계: $\sin x$의 역도함수를 구합니다 — $F(x) = -\cos x$ (왜냐하면 $(-\cos x)' = \sin x$)

2단계: 양 끝점에서 값을 구합니다 — $F(\pi) = -\cos\pi = -(-1) = 1$, $F(0) = -\cos 0 = -1$

3단계: 차이를 구합니다 — $F(\pi) - F(0) = 1 - (-1) = 2$

따라서 $\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2$입니다.

적분 기법

치환적분 (Substitution)

아이디어: 연쇄법칙의 역과정입니다. 복잡한 식의 일부를 새 변수 $u$로 바꾸면 적분이 간단해집니다.

예시 (단계별): $\int 2x \cos(x^2)\,dx$를 구하겠습니다.

1단계: 복잡한 부분을 식별합니다 — $x^2$이 반복적으로 나타나므로 $u = x^2$으로 놓습니다.

2단계: $u$를 미분합니다 — $du = 2x\,dx$. 마침 피적분함수에 $2x\,dx$가 있습니다!

3단계: 치환합니다:

4단계: 적분한 후 원래 변수로 되돌립니다:

부분적분 (Integration by Parts)

아이디어: 곱의 법칙 $(uv)' = u'v + uv'$을 적분한 것입니다. 두 함수의 곱을 적분할 때, 한쪽을 미분하고 다른 쪽을 적분하여 더 쉬운 적분으로 바꿉니다.

예시 (단계별): $\int x e^x\,dx$를 구하겠습니다.

1단계: $u$와 $dv$를 선택합니다 — $u = x$ (미분하면 간단해짐), $dv = e^x\,dx$ (적분이 쉬움)

2단계: $du$와 $v$를 구합니다 — $du = dx$, $v = e^x$

3단계: 공식에 대입합니다:

삼각함수 치환

부분분수 분해 (Partial Fractions)

유리함수를 간단한 분수의 합으로 분해하여 적분합니다.

예시:

이상적분

이상적분(Improper Integral)은 적분 구간이 무한이거나 피적분함수가 불연속인 경우의 적분입니다.

유형 1: 무한 구간

유형 2: 불연속점

$p$-적분 판정법

테일러 급수

테일러 급수란 무엇입니까?

비유: 낯선 도시의 지도를 그린다고 상상하십시오. 처음에는 "서울은 한반도 중앙에 있다"(0차 근사). 다음에는 "서울에서 북쪽으로 가면 경기도"(1차 근사). 더 자세히 그리면 동네, 골목까지 나옵니다. 테일러 급수도 마찬가지로, 항을 추가할수록 원래 함수에 점점 더 가까워집니다.

테일러 급수(Taylor Series)는 무한히 미분 가능한 함수를 다항식의 무한 합으로 표현합니다. $x = a$ 주위에서:

특히 $a = 0$일 때를 매클로린 급수(Maclaurin Series)라 합니다.

예시: $e^x$의 테일러 급수 유도

$f(x) = e^x$를 $a = 0$ 주위에서 전개해 보겠습니다.

$e^x$의 특별한 성질: 몇 번을 미분해도 자기 자신입니다. $f(x) = f'(x) = f''(x) = \cdots = e^x$

$a = 0$에서 모든 도함수의 값: $f(0) = f'(0) = f''(0) = \cdots = e^0 = 1$

따라서:

이 급수로 $e^1 = e$의 값을 계산해 보겠습니다 ($x = 1$ 대입):

항을 추가할수록 점점 정확해집니다!

예시: $\sin x$의 테일러 급수 유도

$f(x) = \sin x$를 $a = 0$에서 전개합니다.

도함수를 구하면: $f(x) = \sin x$, $f'(x) = \cos x$, $f''(x) = -\sin x$, $f'''(x) = -\cos x$, $f^{(4)}(x) = \sin x$, ...

$x = 0$에서의 값: $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$, $f''(0) = 0$, $f'''(0) = -1$, $f^{(4)}(0) = 0$, ...

짝수 차수 도함수의 값은 모두 0이므로 홀수 항만 남습니다:

테일러 다항식과 나머지

$n$차 테일러 다항식 $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$에 대해 나머지항(라그랑주 형태)은:

여기서 $c$는 $a$와 $x$ 사이의 어떤 값입니다. 나머지항은 "테일러 다항식이 원래 함수와 얼마나 차이 나는지"를 알려주는 오차 한계입니다.

중요한 매클로린 급수

오일러 공식과 오일러 항등식

오일러 공식이란 무엇입니까?

오일러 공식(Euler's Formula)은 지수함수와 삼각함수 사이의 놀라운 관계를 보여주는 공식입니다.

여기서 $i = \sqrt{-1}$은 허수 단위(Imaginary Unit)이며, $\theta$는 라디안 단위의 각도입니다.

테일러 급수로 유도하기

앞에서 배운 테일러 급수를 사용하면 이 공식이 자연스럽게 나옵니다.

$e^x$의 급수에 $x = i\theta$를 대입합니다:

$i$의 거듭제곱은 $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, ... 이므로 정리하면:

실수부는 $\cos\theta$의 급수이고, 허수부는 $\sin\theta$의 급수입니다. 따라서 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$가 성립합니다.

오일러 항등식 — "수학에서 가장 아름다운 식"

오일러 공식에 $\theta = \pi$를 대입하면:

양변에 1을 더하면:

오일러 공식의 응용

• 삼각함수의 표현: $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$
• 회전 변환: 복소수 $z$에 $e^{i\theta}$를 곱하면 $z$를 원점 중심으로 $\theta$만큼 회전
• 전자공학: 교류 회로에서 전압과 전류를 $e^{i\omega t}$로 표현하여 복소수 연산으로 분석
• 양자역학: 슈뢰딩거 방정식에서 파동함수가 $e^{i\theta}$ 형태를 포함

다변수 미적분 기초

편미분이란 무엇입니까?

편미분 (Partial Derivative)

다변수 함수 $f(x, y)$의 $x$에 대한 편미분:

$y$는 상수 취급하고 $x$에 대해서만 미분합니다.

예시 (단계별): $f(x, y) = x^2y + 3xy^2 + 5$의 편미분을 구하겠습니다.

$x$에 대한 편미분 ($y$를 상수 취급):

$y$에 대한 편미분 ($x$를 상수 취급):

그래디언트 (Gradient)

그래디언트(Gradient)는 각 방향의 편미분을 모아 하나의 벡터로 만든 것입니다. 이 벡터는 두 가지 중요한 정보를 담고 있습니다:

1. 방향: 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향을 가리킵니다.
2. 크기: 그 방향으로의 최대 변화율입니다.

예시: $f(x, y) = x^2 + y^2$이면 $\nabla f = (2x, 2y)$입니다.

점 $(1, 2)$에서 $\nabla f(1, 2) = (2, 4)$이므로, 이 점에서 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향은 $(2, 4)$ 방향이고, 최대 변화율은 $|\nabla f| = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$입니다.

그래디언트와 최적화 — 머신러닝의 핵심

그래디언트의 가장 중요한 응용 중 하나는 경사 하강법(Gradient Descent)입니다. 머신러닝에서 모델을 학습시킬 때 핵심이 되는 알고리즘입니다.

경사 하강법의 수식: 매개변수 $\mathbf{w}$를 반복적으로 업데이트합니다:

여기서 $L$은 손실 함수(Loss Function)(최소화하고 싶은 오차), $\alpha$는 학습률(Learning Rate)(한 걸음의 크기), $\nabla L$은 손실 함수의 그래디언트입니다.

• $\nabla L$은 "손실이 가장 빨리 증가하는 방향"이므로, 그 반대 방향($-\nabla L$)으로 이동하면 손실이 줄어듭니다.
• $\alpha$가 너무 크면 최저점을 지나쳐 버리고, 너무 작으면 학습이 느립니다.

다중적분

주요 정리

극한 계산 — 다양한 풀이

같은 극한값을 여러 방법으로 구하면 각 기법의 특성과 적용 범위를 깊이 이해할 수 있습니다. 아래에서 하나의 극한 문제를 네 가지 방법으로 풀어 보겠습니다.

문제: $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$을 증명하십시오

풀이 1 — 기하학적 조임 정리

단위원에서 $0 < x < \frac{\pi}{2}$일 때 넓이 관계를 이용합니다.

단위원에서 세 영역의 넓이를 비교하면:

양변을 $\frac{\sin x}{2} > 0$으로 나누면:

역수를 취하면(부등호 방향 반전):

$x \to 0$일 때 $\cos x \to 1$이므로 조임 정리에 의해 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$입니다. $\blacksquare$

풀이 2 — 로피탈 법칙

$x \to 0$일 때 $\frac{\sin x}{x}$는 $\frac{0}{0}$ 부정형이므로 로피탈 법칙을 적용합니다:

풀이 3 — 테일러 전개

$\sin x$의 매클로린 급수를 이용합니다:

$x \to 0$이면 $x^2$ 이상의 항은 모두 0이 되므로:

풀이 4 — 엡실론-델타 정의 (엄밀한 증명)

풀이 1에서 $\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$을 보였습니다. 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여:

$1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2} \leq 2\cdot\frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{2}$이므로, $\delta = \sqrt{2\varepsilon}$로 놓으면 $0 < |x| < \delta$일 때:

최적화 문제 — 다양한 풀이

미적분의 가장 실용적인 응용 중 하나가 최적화입니다. 같은 문제를 여러 방법으로 접근해 보겠습니다.

문제: 둘레가 $2p$인 직사각형 중 넓이가 최대인 것을 구하십시오

풀이 1 — 1차 도함수 판정법

가로를 $x$, 세로를 $y$라 하면 $2x + 2y = 2p$이므로 $y = p - x$입니다.

넓이 $A(x) = x(p - x) = px - x^2$ ($0 < x < p$)를 최대화합니다.

$A''(x) = -2 < 0$이므로 $x = \frac{p}{2}$에서 극대(이자 최대)입니다.

따라서 $x = y = \frac{p}{2}$, 즉 정사각형일 때 넓이 $A = \frac{p^2}{4}$가 최대입니다. $\blacksquare$

풀이 2 — 라그랑주 승수법

제약 조건이 있는 최적화 문제를 체계적으로 푸는 방법입니다.

최대화: $f(x, y) = xy$, 제약 조건: $g(x, y) = 2x + 2y - 2p = 0$

라그랑주 조건 $\nabla f = \lambda \nabla g$에서:

따라서 $x = y$이고, 제약 조건에 넣으면 $4x = 2p$, $x = y = \frac{p}{2}$입니다. $\blacksquare$

풀이 3 — 산술-기하 평균 부등식 (기하학적 풀이)

AM-GM 부등식: $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$ (등호 조건: $x = y$)

$x + y = p$이므로:

등호는 $x = y = \frac{p}{2}$일 때 성립합니다. 따라서 넓이의 최댓값은 $\frac{p^2}{4}$입니다. $\blacksquare$

적분 기법 심화 — 같은 적분의 다양한 풀이

적분은 미분과 달리 기계적인 규칙이 없으므로, 같은 문제도 여러 기법으로 접근할 수 있습니다. 어떤 방법이 더 효율적인지 비교해 보겠습니다.

문제 1: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx$를 구하십시오

풀이 1 — 부분분수 분해

$1 = A(x+1) + B(x-1)$에서 $x = 1$이면 $A = \frac{1}{2}$, $x = -1$이면 $B = -\frac{1}{2}$입니다.

풀이 2 — 삼각함수 쌍곡선 치환

$x = \cosh t$ ($dx = \sinh t\,dt$)로 치환하면 $x^2 - 1 = \sinh^2 t$이므로:

$t = \text{arccosh}\,x$를 되돌리면 $\tanh\frac{t}{2} = \frac{\cosh t - 1}{\sinh t} = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2-1}}$이고, 정리하면 풀이 1과 같은 결과입니다.

풀이 3 — 치환 $u = x - 1$

$u = x - 1$이면 $x = u + 1$, $x + 1 = u + 2$이므로:

문제 2: $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$를 구하십시오

풀이 1 — 부분적분 반복

$u = x^2$, $dv = e^x dx$로 놓으면:

$\int x e^x\,dx$에 다시 부분적분 ($u = x$, $dv = e^x dx$):

결합하면:

풀이 2 — 도표 적분법 (Tabular Integration)

부분적분을 반복해야 할 때 표를 이용하면 효율적입니다.

대각선으로 곱하고 부호를 번갈아 적용합니다:

풀이 3 — 미분 연산자법

$D = \frac{d}{dx}$로 놓으면 $\int x^2 e^x dx$에서 $e^x$를 분리합니다. $e^x \cdot x^n$의 적분에 대한 공식:

$n = 2$이면:

문제 3: $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}$를 구하십시오

풀이 1 — 삼각치환

$x = 2\sin\theta$ ($dx = 2\cos\theta\,d\theta$)로 치환하면:

풀이 2 — 공식 직접 적용

기본 적분 공식 $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$에서 $a = 2$를 대입하면:

풀이 3 — 오일러 치환

$\sqrt{4 - x^2} = xt + 2$로 놓는 제2형 오일러 치환을 적용합니다. 양변을 제곱하면:

$x \neq 0$이면 $x = -\frac{4t}{1 + t^2}$이고, $dx = -\frac{4(1 - t^2)}{(1+t^2)^2}dt$입니다.

대입 후 정리하면 역시 $\arcsin\frac{x}{2} + C$와 같은 결과를 얻습니다.

이상적분 — 수렴 판정의 다양한 방법

이상적분의 수렴·발산을 판정하는 여러 도구를 같은 문제에 적용해 비교하겠습니다.

문제: $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2 + x}$의 수렴·발산을 판정하고 값을 구하십시오

풀이 1 — 직접 계산

부분분수 분해: $\frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

$t \to \infty$이면 $\frac{t}{t+1} \to 1$이므로 $\ln 1 = 0$입니다. 따라서:

풀이 2 — 비교 판정법

$x \geq 1$에서 $x^2 + x \geq x^2$이므로 $\frac{1}{x^2+x} \leq \frac{1}{x^2}$입니다.

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}dx = 1$이 수렴하므로(p-적분, $p = 2 > 1$), 비교 판정법에 의해 $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2+x}$도 수렴합니다.

풀이 3 — 극한 비교 판정법

$f(x) = \frac{1}{x^2+x}$와 $g(x) = \frac{1}{x^2}$를 비교합니다:

극한값이 양의 유한수이고 $\int_1^{\infty}g(x)\,dx$가 수렴하므로, $\int_1^{\infty}f(x)\,dx$도 수렴합니다.

디리클레 판정법 (Dirichlet's Test)

적분 $\int_a^{\infty} f(x)g(x)\,dx$에서 다음이 성립하면 수렴합니다:

1. $F(t) = \int_a^t f(x)\,dx$가 유계(bounded)
2. $g(x)$가 단조감소하고 $g(x) \to 0$ ($x \to \infty$)

예시: $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx$는 수렴합니다.

$f(x) = \sin x$이면 $|F(t)| = \left|\int_1^t \sin x\,dx\right| = |\cos 1 - \cos t| \leq 2$로 유계이고, $g(x) = \frac{1}{x}$는 단조감소하며 $g(x) \to 0$이므로 디리클레 판정법에 의해 수렴합니다.

급수 심화 — 같은 합의 다양한 풀이

무한급수의 합을 구하는 문제는 다양한 접근이 가능합니다. 하나의 급수를 여러 방법으로 계산해 보겠습니다.

문제: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$의 합을 구하십시오

풀이 1 — 텔레스코핑 (Telescoping)

부분분수로 분해하면:

부분합을 구하면:

중간 항이 모두 상쇄되어 $S_N = 1 - \frac{1}{N+1}$입니다. $N \to \infty$이면:

풀이 2 — 적분과의 관계

$\frac{1}{n(n+1)} = \int_0^1 x^{n-1}(1-x)\,dx$임을 이용합니다 (베타 함수의 특수한 경우).

$\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$ ($|x| < 1$)이므로:

풀이 3 — 부분합의 직접 계산

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$에서 $S_N = 1 - \frac{1}{N+1} = \frac{N}{N+1}$임을 수학적 귀납법으로 증명합니다.

기초 단계: $n = 1$이면 $S_1 = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. $\checkmark$

귀납 단계: $S_k = \frac{k}{k+1}$이 성립한다고 가정하면:

따라서 $\lim_{N \to \infty}S_N = \lim_{N \to \infty}\frac{N}{N+1} = 1$입니다. $\blacksquare$

바젤 문제: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

풀이 (오일러의 방법 — 푸리에 급수 이용)

$f(x) = x^2$의 푸리에 급수를 $[-\pi, \pi]$에서 전개하면:

$x = \pi$를 대입하면 $\cos(n\pi) = (-1)^n$이므로:

매개변수 미적분과 극좌표

매개변수 곡선

곡선이 $x = f(t)$, $y = g(t)$로 주어질 때, 접선의 기울기와 넓이 등을 매개변수로 계산합니다.

접선의 기울기

호의 길이

$t = a$에서 $t = b$까지 곡선의 길이:

예시: 사이클로이드 $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$의 한 아치($0 \leq t \leq 2\pi$) 길이를 구하겠습니다.

$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$, $\frac{dy}{dt} = \sin t$이므로:

반각 공식 $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$를 이용하면:

극좌표

극좌표 $r = f(\theta)$로 주어진 곡선의 넓이와 호의 길이입니다.

극좌표 넓이

예시: 카디오이드 $r = 1 + \cos\theta$의 내부 넓이를 구하겠습니다.

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$를 이용하면:

($\cos\theta$와 $\cos 2\theta$의 한 주기 적분은 0입니다.)

극좌표 호의 길이

미적분의 기본정리 — 심화

두 형태의 기본정리가 어떻게 연결되는지, 그리고 엄밀한 증명을 살펴보겠습니다.

제1 기본정리의 증명

정리: $f$가 $[a, b]$에서 연속이면, $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$는 $(a, b)$에서 미분 가능하고 $F'(x) = f(x)$입니다.

증명:

$f$가 연속이므로 적분의 평균값 정리에 의해 $\int_x^{x+h}f(t)\,dt = f(c_h)\cdot h$ ($c_h$는 $x$와 $x+h$ 사이)를 만족하는 $c_h$가 존재합니다.

마지막 등호는 $h \to 0$이면 $c_h \to x$이고 $f$가 연속이기 때문입니다. $\blacksquare$

제2 기본정리의 증명

정리: $f$가 연속이고 $F' = f$이면 $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$입니다.

증명: $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$로 놓으면 제1 기본정리에 의해 $G'(x) = f(x) = F'(x)$입니다.

$G'(x) - F'(x) = 0$이므로 $G(x) - F(x) = C$ (상수)입니다.

$G(a) = 0$이므로 $C = -F(a)$, 즉 $G(x) = F(x) - F(a)$입니다.

$x = b$를 넣으면:

테일러/매클로린 급수 — 다양한 유도법

같은 급수를 여러 방법으로 유도하면 급수의 본질을 더 깊이 이해할 수 있습니다.

문제: $e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$을 유도하십시오

방법 1 — 직접 계산 (테일러 공식)

$f(x) = e^x$는 $f^{(n)}(x) = e^x$이므로 $f^{(n)}(0) = 1$입니다.

방법 2 — 미분방정식 이용

$y = e^x$는 $y' = y$, $y(0) = 1$의 해입니다. 해를 멱급수 $y = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$으로 가정합니다.

$y' = y$에서 계수를 비교하면: $(n+1)a_{n+1} = a_n$, 즉 $a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1}$입니다.

$a_0 = y(0) = 1$이므로 $a_n = \frac{1}{n!}$입니다. 따라서 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$입니다. $\blacksquare$

방법 3 — 알려진 급수의 조합

$e^x$의 정의 $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$에서 이항정리를 적용합니다:

$n \to \infty$이면 $\frac{n!}{(n-k)!\cdot n^k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} \to 1$이므로:

미분방정식 맛보기

미분방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)은 미지 함수와 그 도함수를 포함하는 방정식입니다. 미적분학의 핵심 응용이며, 물리학·공학·생물학의 거의 모든 모델링에 사용됩니다.

분리변수법 (Separation of Variables)

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 형태의 방정식을 $y$ 관련 항과 $x$ 관련 항으로 분리합니다.

예시 1: 방사성 붕괴 $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$ ($N$: 원자 수, $\lambda$: 붕괴 상수)

여기서 $N_0 = N(0)$은 초기 원자 수입니다.

예시 2: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$, $y(0) = 1$

초기 조건 $y(0) = 1$에서 $C' = 1$이므로 $y = \sqrt{x^2 + 1}$ ($y > 0$)입니다.

적분인자법 (Integrating Factor)

1차 선형 미분방정식 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$의 표준 풀이법입니다.

적분인자: $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$

양변에 $\mu(x)$를 곱하면:

예시: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^3$, $y(1) = 0$

1단계: $P(x) = \frac{2}{x}$이므로 적분인자 $\mu = e^{\int \frac{2}{x}dx} = e^{2\ln x} = x^2$

2단계: $x^2 y' + 2xy = x^5$, 즉 $\frac{d}{dx}(x^2 y) = x^5$

3단계: $x^2 y = \int x^5\,dx = \frac{x^6}{6} + C$이므로 $y = \frac{x^4}{6} + \frac{C}{x^2}$

4단계: $y(1) = 0$에서 $\frac{1}{6} + C = 0$, $C = -\frac{1}{6}$

벡터 미적분 입문

벡터 미적분(Vector Calculus)은 벡터 함수와 벡터장에 대한 미분과 적분을 다룹니다. 전자기학, 유체역학, 열역학 등 물리학의 기본 언어입니다.

벡터 함수의 미적분

벡터 함수 $\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle$의 미분과 적분은 성분별로 수행합니다:

예시: $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle$ (나선 곡선)

속도: $\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t, 1 \rangle$

속력: $|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2}$

가속도: $\mathbf{r}''(t) = \langle -\cos t, -\sin t, 0 \rangle$

선적분

벡터장 $\mathbf{F}$ 위에서 경로 $C$를 따라 하는 일(work):

발산과 회전

벡터장 $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$에 대하여:

예시: $\mathbf{F} = \langle x^2, xy, z \rangle$에 대하여:

발산: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + x + 1 = 3x + 1$

회전: $\nabla \times \mathbf{F} = \left(0 - 0\right)\mathbf{i} + \left(0 - 0\right)\mathbf{j} + \left(y - 0\right)\mathbf{k} = y\,\mathbf{k}$

벡터 미적분의 기본 정리들

자세한 내용은 미분방정식, 해석학 페이지를 참조하십시오.

참고자료

• Stewart, J. — Calculus: Early Transcendentals, Cengage
• Spivak, M. — Calculus, Cambridge University Press
• Thomas, G. B. — Thomas' Calculus, Pearson
• Apostol, T. M. — Calculus, Vol. 1 & 2, Wiley
• Courant, R. & John, F. — Introduction to Calculus and Analysis, Springer
• 해석학 — 미적분학의 엄밀한 기초
• 미분방정식 — 미적분의 응용
• 수치해석 — 수치 미분과 적분
• 대수학 기초 — 수열과 급수