방정식과 부등식

"모르는 수를 찾아라!" — 방정식은 수학의 탐정 도구입니다. 우리가 아직 모르는 수(미지수)를 문자로 놓고, 조건에 맞는 값을 찾아내는 과정이 바로 방정식 풀이입니다. 부등식은 "크다, 작다"의 관계를 다루는 도구입니다.

이 페이지에서는 가장 기본적인 일차방정식부터 시작하여, 부등식, 연립방정식, 이차방정식, 그리고 삼차·고차방정식까지 단계별로 배워 보겠습니다. 모든 풀이에는 "왜 이렇게 하는가"라는 이유를 함께 설명하므로, 단순히 공식을 외우는 것이 아니라 원리를 이해할 수 있습니다.

이런 곳에 쓰입니다

변수와 식

변수(미지수)란?

변수(Variable)란 아직 값을 모르는 수를 문자로 나타낸 것입니다. 보통 $x$, $y$, $z$ 같은 알파벳을 사용합니다.

일상생활에서도 이미 변수의 개념을 자연스럽게 사용하고 있습니다. "어떤 수에 3을 더하면 10이 된다"에서 "어떤 수"가 바로 변수입니다. 이것을 수학에서는 문자를 사용하여 간결하게 나타냅니다.

예: "어떤 수에 3을 더하면 10이 된다." → 어떤 수를 $x$로 놓으면 $x + 3 = 10$이 됩니다.

식(수식)

수, 변수, 연산 기호(+, −, ×, ÷)를 사용하여 만든 것을 식(Expression)이라 합니다.

• $3x + 2$ — $x$에 3을 곱하고 2를 더한 식
• $5y - 7$ — $y$에 5를 곱하고 7을 뺀 식
• $\dfrac{x}{4} + 1$ — $x$를 4로 나누고 1을 더한 식

식의 값 구하기

변수에 특정 수를 대입(代入)하면 식의 값을 구할 수 있습니다. "대입"이란 변수 자리에 구체적인 수를 넣는 것입니다.

예: $3x + 2$에서 $x = 4$를 대입하면

예: $2x^2 - x + 1$에서 $x = 3$을 대입하면

등식, 방정식, 항등식

방정식의 핵심 원리 — 저울의 비유

방정식을 이해하는 가장 좋은 방법은 양팔 저울을 떠올리는 것입니다. 등호($=$)는 저울의 받침점이고, 등호 왼쪽은 왼쪽 접시, 오른쪽은 오른쪽 접시에 해당합니다.

저울이 균형을 이루고 있을 때, 양쪽에 같은 것을 하면 균형은 유지됩니다. 이것이 방정식 풀이의 핵심 원리입니다.

• 양쪽 접시에 같은 무게를 더하면 → 균형 유지 ✓
• 양쪽 접시에서 같은 무게를 빼면 → 균형 유지 ✓
• 양쪽 접시의 무게를 같은 수로 곱하면 → 균형 유지 ✓
• 양쪽 접시의 무게를 같은 수(≠ 0)로 나누면 → 균형 유지 ✓

예를 들어 $x + 3 = 10$에서 양쪽에서 3을 빼면:

저울의 양쪽 접시에서 똑같이 3만큼의 무게를 뺐으므로 균형이 유지되고, 왼쪽 접시에는 $x$만 남게 됩니다. 이것이 방정식 풀이의 본질입니다!

일차방정식

미지수의 최고 차수가 1인 방정식을 일차방정식(Linear Equation)이라 합니다. "차수가 1"이란 미지수에 제곱이나 세제곱이 붙지 않고, $x$만 있다는 뜻입니다. 가장 기본적인 꼴은 다음과 같습니다.

여기서 $a$, $b$, $c$는 이미 알고 있는 수(상수)이고, $x$가 구해야 할 미지수입니다. $a \neq 0$인 이유는, $a = 0$이면 $x$가 사라져서 방정식이 되지 않기 때문입니다.

등식의 성질 4가지

앞에서 배운 저울의 원리를 수학적으로 정리하면 다음 4가지 성질이 됩니다.

이항(移項) — 항을 옮기는 기법

등식의 성질을 매번 풀어 쓰면 번거롭습니다. 실전에서는 이항이라는 간편한 기법을 사용합니다.

이항이란? 등호의 한쪽에 있는 항을 부호를 바꾸어 반대쪽으로 옮기는 것입니다.

예를 들어 $x + 3 = 10$을 봅시다.

• 원리대로 풀기: 양변에서 3을 빼면 $x + 3 - 3 = 10 - 3$이므로 $x = 7$
• 이항으로 풀기: 왼쪽의 $+3$을 오른쪽으로 보내면서 부호를 바꾸면 $x = 10 - 3 = 7$

결과는 같습니다. 이항은 "양변에 같은 수를 더하거나 빼는 과정"을 한 번에 처리하는 단축 표현입니다.

풀이 전략: 3단계 접근법

어떤 일차방정식이든 다음 3단계를 따르면 풀 수 있습니다.

1. 정리: 괄호를 풀고, 분수가 있으면 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 정수로 만듭니다.
2. 모으기: $x$가 포함된 항은 왼쪽으로, 숫자만 있는 항은 오른쪽으로 이항합니다.
3. 나누기: $x$의 계수로 양변을 나누어 $x = (\text{수})$ 꼴을 만듭니다.

예시 1: $x + 5 = 12$ (가장 간단한 형태)

왼쪽에 $x$와 $+5$가 함께 있으므로, $+5$를 오른쪽으로 이항합니다.

왜 이렇게 하나요? $x$만 남기려면 $x$ 옆에 있는 $+5$를 없애야 합니다. 양변에서 5를 빼면 왼쪽의 $+5$가 사라지고, 오른쪽에는 $-5$가 추가되어 $12 - 5 = 7$이 됩니다.

검산: $7 + 5 = 12$ ✓

예시 2: $3x = 21$ (계수가 있는 경우)

$x$ 앞에 3이 곱해져 있으므로, 양변을 3으로 나눕니다.

왜 이렇게 하나요? $3x$는 "$x$가 3개"라는 뜻입니다. 3개가 합쳐서 21이면, 1개는 $21 \div 3 = 7$입니다.

검산: $3 \times 7 = 21$ ✓

예시 3: $2x + 3 = 11$ (2단계 풀이)

1단계 (모으기): $+3$을 오른쪽으로 이항합니다.

2단계 (나누기): 양변을 2로 나눕니다.

왜 이 순서인가요? 양파 껍질을 벗기듯이, $x$에서 가장 바깥쪽에 있는 연산($+3$)부터 순서대로 제거하는 것이 가장 자연스럽습니다.

검산: $2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$ ✓

예시 4: $\dfrac{x}{4} - 2 = 3$ (분수가 있는 경우)

1단계 (모으기): $-2$를 오른쪽으로 이항합니다.

2단계 (나누기의 역연산): 양변에 4를 곱합니다.

왜 곱하나요? $\dfrac{x}{4}$는 "$x$를 4로 나눈 것"입니다. 나눗셈을 되돌리려면 곱셈을 하면 됩니다.

검산: $\dfrac{20}{4} - 2 = 5 - 2 = 3$ ✓

예시 5: $5x - 3 = 2x + 9$ (양변에 $x$가 있는 경우)

양쪽에 $x$가 흩어져 있으므로, $x$항은 왼쪽으로, 숫자항은 오른쪽으로 모읍니다.

1단계: 오른쪽의 $2x$를 왼쪽으로 이항하고, 왼쪽의 $-3$을 오른쪽으로 이항합니다.

2단계: 양변을 3으로 나눕니다.

왜 이렇게 하나요? $2x$가 오른쪽에서 왼쪽으로 이항할 때 $+2x$가 $-2x$로 부호가 바뀌어 $5x - 2x = 3x$가 됩니다. $-3$은 오른쪽으로 이항할 때 $+3$이 되어 $9 + 3 = 12$가 됩니다.

검산: 좌변 $5(4) - 3 = 17$, 우변 $2(4) + 9 = 17$ ✓

예시 6: $\dfrac{2x + 1}{3} = \dfrac{x - 1}{2}$ (분수 방정식)

분수가 양변에 있을 때는, 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 분수를 없앱니다.

1단계 (정리): 분모 3과 2의 최소공배수는 6입니다. 양변에 6을 곱합니다.

2단계: 괄호를 풀어 전개합니다.

3단계 (모으기): $x$항은 왼쪽으로, 숫자항은 오른쪽으로 이항합니다.

검산: 좌변 $\dfrac{2(-5)+1}{3} = \dfrac{-9}{3} = -3$, 우변 $\dfrac{-5-1}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3$ ✓

검산(확인)의 중요성

구한 해를 원래 방정식에 다시 대입하여 양변이 같은지 확인하는 것을 검산이라 합니다. 검산은 반드시 하는 습관을 들이십시오!

검산이 중요한 이유는 다음과 같습니다.

• 풀이 과정에서 계산 실수를 잡아낼 수 있습니다.
• 이항할 때 부호를 잘못 바꾼 경우를 발견할 수 있습니다.
• 분모가 0이 되는 등 해가 될 수 없는 값을 걸러낼 수 있습니다.

문장제 (활용 문제)

수학 시험에서 가장 어렵게 느껴지는 것이 바로 문장제입니다. 하지만 다음 단계를 따르면 체계적으로 풀 수 있습니다.

문장제 풀이 5단계

1. 읽기: 문제를 두 번 이상 꼼꼼히 읽고, 구하려는 것이 무엇인지 파악합니다.
2. 미지수 설정: 구하려는 것을 $x$로 놓고, "$x$는 무엇이다"라고 명확히 적어 둡니다.
3. 식 세우기: 문제에서 주어진 조건을 수식으로 번역합니다.
4. 풀기: 방정식을 풀어 $x$의 값을 구합니다.
5. 확인: 구한 값이 문제의 조건에 맞는지 검산하고, 단위를 붙여서 답을 씁니다.

예시 1: 나이 문제

문제: 현재 어머니의 나이는 아들 나이의 3배보다 2살 많습니다. 어머니의 나이가 44살일 때, 아들의 나이는 몇 살입니까?

풀이:

• 미지수 설정: 아들의 나이를 $x$살로 놓습니다.
• 식 세우기: "아들 나이의 3배보다 2살 많다"를 수식으로 번역하면 $3x + 2$입니다. 이것이 44살이므로:

풀기: $+2$를 이항하면 $3x = 42$, 양변을 3으로 나누면 $x = 14$

답: 아들의 나이는 14살입니다.

검산: $3 \times 14 + 2 = 42 + 2 = 44$ ✓ "14살의 3배(42)보다 2살 많으면 44살"이므로 조건에 맞습니다.

예시 2: 거리·속력·시간 문제

문제: 집에서 학교까지의 거리는 3 km입니다. 분속 60 m로 걸으면 몇 분이 걸립니까?

풀이:

• 미지수 설정: 걸리는 시간을 $x$분으로 놓습니다.
• 단위 맞추기: 3 km = 3000 m (같은 단위로 통일해야 합니다!)
• 식 세우기: (거리) = (속력) × (시간)이므로 $60x = 3000$

답: 50분이 걸립니다.

검산: $60 \times 50 = 3000$ m = 3 km ✓

예시 3: 농도 문제

문제: 10%의 소금물 200 g에 소금을 더 넣어 15%의 소금물을 만들려고 합니다. 소금을 몇 g 넣어야 합니까?

풀이:

• 미지수 설정: 더 넣을 소금의 양을 $x$ g으로 놓습니다.
• 현재 상태 파악: 10% 소금물 200 g 안에 있는 소금의 양은 $200 \times 0.1 = 20$ g입니다.
• 소금을 넣은 후: 소금은 $(20 + x)$ g, 전체 소금물은 $(200 + x)$ g이 됩니다. (소금을 넣으면 전체 무게도 늘어납니다!)
• 식 세우기: 농도 = $\dfrac{\text{소금의 양}}{\text{소금물의 양}}$이므로:

양변에 $(200 + x)$를 곱하면:

$x$항을 왼쪽으로, 숫자항을 오른쪽으로 이항합니다.

답: 소금을 약 11.8 g 넣어야 합니다.

검산: $\dfrac{20 + 11.76}{200 + 11.76} = \dfrac{31.76}{211.76} \approx 0.15$ (15%) ✓

일차부등식

부등식(Inequality)은 두 식의 크기를 비교하는 식입니다. 방정식이 "같다"를 다루는 도구라면, 부등식은 "크다/작다"를 다루는 도구입니다.

일상생활에서 "시험 점수가 80점 이상이면 합격", "무게가 100kg을 초과하면 탑승 불가"와 같은 조건을 수학적으로 표현하는 것이 부등식입니다.

부등호의 종류

부등식의 성질

부등식의 풀이는 방정식과 거의 같지만, 아주 중요한 차이가 하나 있습니다.

왜 음수를 곱하면 부등호가 뒤집힐까요? 구체적인 수로 확인해 봅시다.

• $2 < 5$는 참입니다. (수직선에서 2가 5보다 왼쪽에 있습니다.)
• 양변에 $-1$을 곱하면 $-2$와 $-5$가 됩니다.
• 수직선에서 $-5$가 $-2$보다 왼쪽에 있으므로, $-2 > -5$입니다.

즉, 음수를 곱하면 수직선에서 양수 쪽과 음수 쪽이 뒤바뀌기 때문에 부등호도 뒤집어야 합니다. 거울에 비친 것처럼 좌우가 반전된다고 생각하면 됩니다.

예시 1: $2x - 1 > 5$ (양수로 나누기)

1단계: $-1$을 오른쪽으로 이항합니다.

2단계: 양변을 2로 나눕니다. (2는 양수이므로 부등호 방향 유지)

답: $x$는 3보다 큰 모든 수입니다. 예를 들어 3.001, 4, 10, 100 등이 모두 해입니다.

확인: $x = 4$를 대입하면 $2(4) - 1 = 7 > 5$ ✓, $x = 2$를 대입하면 $2(2) - 1 = 3 > 5$? ✗ (3은 5보다 크지 않으므로 $x = 2$는 해가 아닙니다.)

예시 2: $-3x + 6 \leq 0$ (음수로 나누기 — 부등호 반전!)

1단계: $+6$을 오른쪽으로 이항합니다.

2단계: 양변을 $-3$으로 나눕니다. 음수로 나누므로 부등호 방향이 바뀝니다!

답: $x$는 2 이상인 모든 수입니다. ($x = 2$ 자체도 포함됩니다.)

확인: $x = 2$일 때 $-3(2) + 6 = 0 \leq 0$ ✓, $x = 3$일 때 $-3(3) + 6 = -3 \leq 0$ ✓, $x = 1$일 때 $-3(1) + 6 = 3 \leq 0$? ✗

예시 3: 활용 — 예산 문제

문제: 20,000원을 가지고 있습니다. 1,500원짜리 펜을 사고, 나머지로 800원짜리 지우개를 최대 몇 개 살 수 있습니까? (단, 펜 1개는 반드시 삽니다.)

풀이:

• 지우개의 개수를 $x$개로 놓습니다.
• 총 비용은 $1500 + 800x$원이고, 이것이 20,000원 이하여야 합니다.

$x$는 지우개의 개수이므로 자연수여야 합니다. 따라서 $x \leq 23$이고, 최대 23개까지 살 수 있습니다.

수직선 위에 해 나타내기

부등식의 해는 하나의 수가 아니라 범위입니다. 이 범위를 수직선 위에 직관적으로 나타낼 수 있습니다.

• 열린 점(○) = 그 값을 포함하지 않음 ($<$, $>$일 때 사용)
• 닫힌 점(●) = 그 값을 포함 ($\leq$, $\geq$일 때 사용)

$x > 3$의 수직선 표현:

3에 열린 점(○)이 있으므로 3 자체는 포함되지 않고, 3보다 큰 수만 해입니다.

$x \geq 2$의 수직선 표현:

2에 닫힌 점(●)이 있으므로 2 자체도 해에 포함됩니다.

연립방정식 기초

지금까지는 미지수가 1개인 방정식을 풀었습니다. 그런데 모르는 수가 2개라면 어떻게 할까요?

예를 들어 "사과와 배를 합해서 10개를 샀다"라는 조건만으로는 사과와 배가 각각 몇 개인지 알 수 없습니다. (1개+9개? 5개+5개? 가능성이 무한합니다.) 하지만 "사과는 배보다 2개 많다"라는 조건이 추가되면 답이 하나로 결정됩니다.

이처럼 미지수가 2개이고, 방정식도 2개인 경우를 연립방정식(System of Equations)이라 합니다. 두 방정식을 동시에 만족하는 $x$, $y$의 값을 구하는 것이 목표입니다.

대입법

대입법이란 한 방정식을 정리해서 한 변수를 다른 변수로 나타낸 뒤, 나머지 방정식에 대입하여 미지수를 하나씩 구하는 방법입니다.

예시: 다음 연립방정식을 대입법으로 풀어 봅시다.

1단계: ①에서 이미 $y = 2x + 1$로 정리되어 있습니다. 이것을 ②에 대입합니다.

"②의 $y$ 자리에 $2x + 1$을 넣는다"고 생각하면 됩니다.

2단계: $x$에 대해 정리합니다.

3단계: 구한 $x = 2$를 ①에 대입하여 $y$를 구합니다.

답: $x = 2$, $y = 5$

검산: ① $y = 2(2) + 1 = 5$ ✓ ② $3(2) + 5 = 6 + 5 = 11$ ✓ (두 방정식 모두 만족합니다.)

가감법(소거법)

가감법이란 두 방정식을 더하거나 빼서 한 변수를 없애는(소거하는) 방법입니다. 같은 변수의 계수가 같거나 부호만 다를 때 특히 편리합니다.

예시: 다음 연립방정식을 가감법으로 풀어 봅시다.

1단계: ①과 ②에서 $x$의 계수가 둘 다 2로 같습니다. ①에서 ②를 빼면 $x$가 소거됩니다.

왼변: $2x + 3y - 2x + y = 4y$ (주의: $-(- y) = +y$입니다!)

2단계: $y = 2$를 ②에 대입합니다.

답: $x = 3$, $y = 2$

검산: ① $2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12$ ✓ ② $2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$ ✓

좌표 평면에서의 의미

연립방정식의 해는 좌표 평면에서 두 직선이 만나는 점의 좌표와 같습니다. 각 방정식이 하나의 직선을 나타내고, 두 직선이 교차하는 점의 좌표가 곧 연립방정식의 해입니다.

위 그래프에서 두 직선이 점 $(3, 2)$에서 만납니다. 이 점이 바로 연립방정식의 해 $x = 3$, $y = 2$를 나타냅니다.

해의 개수에 따른 분류

이차방정식

미지수의 최고 차수가 2인 방정식을 이차방정식(Quadratic Equation)이라 합니다. "차수가 2"란 $x^2$(x의 제곱)이 포함되어 있다는 뜻입니다. 일차방정식이 직선의 세계라면, 이차방정식은 곡선(포물선)의 세계입니다.

이차방정식이란?

이차방정식의 일반형(표준형)은 다음과 같습니다.

여기서 $a$, $b$, $c$는 상수이고, $x$가 미지수입니다. $a \neq 0$인 이유는, $a = 0$이면 $x^2$항이 사라져서 일차방정식이 되어 버리기 때문입니다.

왜 해가 2개일 수 있을까요?

일차방정식 $2x = 6$의 해는 $x = 3$ 하나뿐입니다. 그런데 이차방정식은 해가 최대 2개까지 나올 수 있습니다. 왜 그럴까요?

$x^2 = 9$를 생각해 봅시다. "$x$를 제곱했더니 9가 나왔다"는 뜻입니다.

• $3 \times 3 = 9$ → $x = 3$이 해입니다.
• $(-3) \times (-3) = 9$ → $x = -3$도 해입니다! (음수 곱하기 음수는 양수이므로)

따라서 $x = 3$ 또는 $x = -3$입니다. 제곱이라는 연산은 양수와 음수의 구분을 없애 버리기 때문에, 해가 2개가 되는 것입니다.

풀이법 1: 인수분해

이차방정식을 푸는 가장 기본적이고 빠른 방법입니다. 핵심 원리는 영인수 성질입니다.

예시 1: $(x - 1)(x + 2) = 0$

곱이 0이므로:

• $x - 1 = 0$ → $x = 1$
• $x + 2 = 0$ → $x = -2$

답: $x = 1$ 또는 $x = -2$

검산: $x = 1$: $(1-1)(1+2) = 0 \times 3 = 0$ ✓, $x = -2$: $(-2-1)(-2+2) = (-3) \times 0 = 0$ ✓

예시 2: $x^2 - 5x + 6 = 0$을 인수분해로 풀어 봅시다.

$x^2 - 5x + 6$을 $(x - \alpha)(x - \beta)$ 꼴로 만들어야 합니다. 이를 위해 곱해서 6이 되고, 더해서 $-5$가 되는 두 수 $\alpha$, $\beta$를 찾습니다.

• $(-2) \times (-3) = 6$ ✓ (곱이 6)
• $(-2) + (-3) = -5$ ✓ (합이 $-5$)

따라서 $x = 2$ 또는 $x = 3$입니다.

검산: $x = 2$일 때 $4 - 10 + 6 = 0$ ✓, $x = 3$일 때 $9 - 15 + 6 = 0$ ✓

예시 3: 계수가 있는 경우 — $2x^2 + 7x + 3 = 0$

$x^2$의 계수가 1이 아닌 경우에는 조금 더 신중해야 합니다. $(2x + \alpha)(x + \beta)$ 꼴을 생각합니다.

• $\alpha \times \beta = 3$ (상수항)
• $2\beta + \alpha = 7$ ($x$의 계수)

$\alpha = 1$, $\beta = 3$을 시도하면: $2 \times 3 + 1 = 7$ ✓

• $2x + 1 = 0$ → $x = -\dfrac{1}{2}$
• $x + 3 = 0$ → $x = -3$

검산: $x = -\dfrac{1}{2}$일 때 $2 \times \dfrac{1}{4} + 7 \times (-\dfrac{1}{2}) + 3 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{2} + 3 = 0$ ✓

풀이법 2: 완전제곱식 만들기

인수분해가 깔끔하게 되지 않을 때 사용하는 방법입니다. 이 방법을 이해하면 근의 공식이 왜 그런 모양인지도 알 수 있습니다.

핵심 아이디어: $x^2 + bx$라는 불완전한 식에 적절한 수를 더하면 완전제곱식으로 만들 수 있습니다. $x^2 + bx$에 $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$을 더하면 됩니다.

예시: $x^2 + 6x + 5 = 0$을 완전제곱식을 만들어 풀어 봅시다.

1단계: 상수항을 오른쪽으로 이항합니다.

2단계: $x$의 계수 6의 절반인 3을 제곱한 $9$를 양변에 더합니다.

왜 9를 더하나요? $b = 6$이므로 $\left(\dfrac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9$입니다. 이 값을 더하면 왼변이 완전제곱식이 됩니다.

3단계: 왼변을 완전제곱식으로 정리합니다.

4단계: 양변에 제곱근을 취합니다.

5단계: $x$에 대해 정리합니다.

• $x + 3 = 2$ → $x = -1$
• $x + 3 = -2$ → $x = -5$

답: $x = -1$ 또는 $x = -5$

검산: $x = -1$일 때 $1 - 6 + 5 = 0$ ✓, $x = -5$일 때 $25 - 30 + 5 = 0$ ✓

풀이법 3: 근의 공식 (가장 강력한 도구)

인수분해가 되지 않는 이차방정식도 반드시 풀 수 있는 만능 공식입니다.

예시 1: $x^2 - 4x + 1 = 0$ (인수분해가 깔끔하게 되지 않는 경우)

$a = 1$, $b = -4$, $c = 1$을 근의 공식에 대입합니다.

답: $x = 2 + \sqrt{3} \approx 3.73$ 또는 $x = 2 - \sqrt{3} \approx 0.27$

예시 2: $3x^2 + 2x - 5 = 0$

$a = 3$, $b = 2$, $c = -5$를 대입합니다.

• $x = \dfrac{-2 + 8}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$
• $x = \dfrac{-2 - 8}{6} = \dfrac{-10}{6} = -\dfrac{5}{3}$

답: $x = 1$ 또는 $x = -\dfrac{5}{3}$

검산: $x = 1$일 때 $3 + 2 - 5 = 0$ ✓

판별식: 해가 몇 개인지 미리 알기

근의 공식에서 제곱근 안의 식 $b^2 - 4ac$를 판별식(Discriminant)이라 하고, 기호 $D$로 나타냅니다.

판별식의 값만 보면, 방정식을 풀지 않고도 해가 몇 개인지 알 수 있습니다.

예시: $x^2 - 4x + 4 = 0$의 판별식을 구하면:

$D = 0$이므로 중근입니다. 실제로 풀면:

$(x-2)^2 = 0$이므로 $x = 2$가 유일한 해(중근)입니다.

근과 계수의 관계

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면, 다음이 성립합니다.

예시: $x^2 - 5x + 6 = 0$에서 $a=1$, $b=-5$, $c=6$이므로:

• 두 근의 합: $\alpha + \beta = -\dfrac{-5}{1} = 5$
• 두 근의 곱: $\alpha\beta = \dfrac{6}{1} = 6$

실제로 근은 2와 3이고, $2 + 3 = 5$, $2 \times 3 = 6$으로 일치합니다. ✓

삼차방정식 기초

미지수의 최고 차수가 3인 방정식을 삼차방정식(Cubic Equation)이라 합니다. 일반형은 다음과 같습니다.

인수분해로 풀기

삼차방정식을 푸는 가장 기본적인 방법은 공통인수를 찾거나 인수분해 공식을 활용하는 것입니다.

예시 1: 공통인수가 있는 경우

1단계: $x$를 공통인수로 묶어냅니다.

2단계: $x^2 - 4$는 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 공식으로 인수분해됩니다.

3단계: 영인수 성질에 의해:

• $x = 0$
• $x + 2 = 0$ → $x = -2$
• $x - 2 = 0$ → $x = 2$

답: $x = -2$, $x = 0$, $x = 2$ (해가 3개)

검산: $x = 2$일 때 $8 - 8 = 0$ ✓, $x = -2$일 때 $-8 + 8 = 0$ ✓, $x = 0$일 때 $0 = 0$ ✓

예시 2: 합차 공식 활용

이것은 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ 공식을 사용합니다. $a = x$, $b = 2$로 놓으면:

• $x - 2 = 0$ → $x = 2$
• $x^2 + 2x + 4 = 0$의 판별식: $D = 4 - 16 = -12 < 0$ → 실수 해 없음

답: $x = 2$ (실수 해는 1개)

조립제법으로 풀기

삼차방정식의 한 근을 알고 있거나 추측할 수 있을 때, 조립제법(Synthetic Division)을 사용하면 빠르게 인수분해할 수 있습니다.

예시: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

1단계: 근을 추측합니다. 상수항 $-6$의 약수($\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$)를 대입해 봅니다.

• $x = 1$: $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓ (근입니다!)

2단계: $x = 1$이 근이므로 $(x - 1)$로 나눌 수 있습니다. 조립제법을 사용합니다.

마지막 줄의 $0$은 나머지가 0임을 확인시켜 줍니다. 나머지 계수 $1, -5, 6$은 몫 $x^2 - 5x + 6$을 나타냅니다.

답: $x = 1$, $x = 2$, $x = 3$

검산: $x = 2$일 때 $8 - 24 + 22 - 6 = 0$ ✓, $x = 3$일 때 $27 - 54 + 33 - 6 = 0$ ✓

고차방정식과 기본 정리

차수가 4 이상인 방정식을 고차방정식이라 합니다. 고차방정식을 풀 때는 인수정리와 나머지정리가 핵심 도구입니다.

나머지정리 (Remainder Theorem)

다항식 $f(x)$를 $(x - k)$로 나눈 나머지는 $f(k)$입니다.

예시: $f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 3$을 $(x - 2)$로 나눈 나머지를 구하십시오.

나머지정리에 의해 $f(2)$를 계산하면 됩니다.

답: 나머지는 $17$입니다. 직접 나눗셈을 하지 않아도 대입만으로 나머지를 알 수 있습니다!

인수정리 (Factor Theorem)

나머지정리의 특별한 경우입니다. 다항식 $f(x)$에 대하여:

즉, $f(k) = 0$이면 $f(x)$는 $(x - k)$로 나누어떨어집니다.

예시: $f(x) = x^3 - 7x + 6$에서 $(x - 1)$이 인수인지 확인합니다.

$f(1) = 0$이므로 $(x - 1)$은 $f(x)$의 인수입니다. ✓

유리근 추측법

고차방정식에서 유리수인 근을 찾으려면, 다음 규칙이 유용합니다.

고차방정식 풀이 전략

고차방정식을 푸는 일반적인 절차는 다음과 같습니다.

1. 유리근 후보 나열: 상수항의 약수와 최고차항 계수의 약수로 후보를 만듭니다.
2. 대입하여 근 찾기: 후보를 하나씩 대입하여 $f(k) = 0$인 $k$를 찾습니다.
3. 조립제법으로 차수 낮추기: 찾은 근으로 조립제법을 수행하여 차수를 1 낮춥니다.
4. 반복: 남은 다항식에 대해 같은 과정을 반복합니다.
5. 이차식이 남으면: 근의 공식으로 나머지 근을 구합니다.

예시: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ (복이차방정식)

이 방정식은 $x^2 = t$로 치환하면 이차방정식이 됩니다.

$t = 1$ 또는 $t = 4$이므로:

• $x^2 = 1$ → $x = \pm 1$
• $x^2 = 4$ → $x = \pm 2$

답: $x = -2$, $x = -1$, $x = 1$, $x = 2$ (해가 4개)

검산: $x = 2$일 때 $16 - 20 + 4 = 0$ ✓

예시 2: $x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$

1단계: 공통인수 $x$를 묶어냅니다.

2단계: $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$에서 $x = 1$을 대입하면 $1 - 3 - 1 + 3 = 0$ ✓

3단계: 조립제법으로 $(x - 1)$을 나누면 $x^2 - 2x - 3$을 얻습니다.

답: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$, $x = 3$

자주 하는 실수

방정식과 부등식을 풀 때 누구나 한 번씩 하는 실수들을 정리하였습니다. 미리 알아 두면 같은 실수를 피할 수 있습니다.

연습 문제

아래 문제를 직접 풀어 보고, 풀이를 펼쳐서 확인하십시오. 반드시 검산까지 해 보는 것을 권장합니다.

문제 1: 일차방정식

$4x - 7 = 2x + 5$를 푸십시오.

문제 2: 분수 방정식

$\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{2x - 3}{5}$를 푸십시오.

문제 3: 일차부등식

$-4x + 3 \geq 11$을 풀고, 수직선 위에 해를 나타내십시오.

문제 4: 연립방정식

다음 연립방정식을 푸십시오.

문제 5: 이차방정식 (인수분해)

$x^2 + 3x - 10 = 0$을 푸십시오.

문제 6: 이차방정식 (근의 공식)

$2x^2 - 3x - 1 = 0$을 근의 공식으로 푸십시오.

문제 7: 삼차방정식

$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$을 푸십시오. (힌트: $x = 2$를 먼저 대입해 보십시오.)

문제 8: 문장제 (연립방정식)

연필 한 자루와 지우개 한 개의 가격의 합은 700원입니다. 연필 한 자루의 가격은 지우개 한 개의 가격보다 300원 비쌉니다. 연필과 지우개의 가격을 각각 구하십시오.

정리

다음 단계

방정식과 부등식의 기초를 잘 이해했다면, 다음 주제로 넘어갈 수 있습니다.

• 함수의 기초 — 변수 사이의 관계를 그래프로 나타내는 방법을 배웁니다. 방정식의 해를 시각적으로 이해하는 데 도움이 됩니다.
• 대수학 기초 — 다항식, 인수분해, 이차함수와의 관계를 더 깊이 배웁니다.
• 집합론 — 부등식의 해를 집합으로 표현하는 방법을 배웁니다.

참고자료

• 중학교 수학 교과서 (수학 1, 수학 2, 수학 3)
• Khan Academy — 일차방정식과 부등식
• EBS 수학 — 중학 수학 강좌