추상대수학 (Abstract Algebra)

추상대수학은 수와 연산의 구조를 추상화하여 군, 환, 체 등의 대수 구조를 연구하는 분야입니다. 구체적인 수가 아니라 연산이 만족하는 공리에 주목하여, 자연수·다항식·행렬·대칭변환 등 겉보기에 다른 대상들의 공통 구조를 파악합니다.

추상대수학이란?

왜 "추상"인가?

중학교 수학에서 우리는 구체적인 수를 다루었습니다. "$3 + 5 = 8$", "$2 \times 7 = 14$"처럼 특정한 수의 계산에 집중하였습니다. 고등학교에서는 $x, y$ 같은 문자를 사용하여 일반적인 규칙을 표현하기 시작하였습니다.

추상대수학은 여기서 한 단계 더 나아갑니다. "어떤 대상"과 "어떤 연산"이 "어떤 규칙"을 만족하는지를 연구합니다. 대상이 숫자일 필요도 없고, 연산이 덧셈이나 곱셈일 필요도 없습니다.

왜 이런 학문이 필요합니까?

전혀 다르게 보이는 것들이 실은 같은 규칙을 따르고 있다면, 하나의 이론으로 여러 문제를 동시에 해결할 수 있기 때문입니다.

예를 들어, 다음 세 가지는 겉보기에 완전히 다릅니다.

1. 정수의 덧셈: $5 + 3 = 8$, $5 + 0 = 5$, $5 + (-5) = 0$
2. 시계의 시간 계산: 10시에서 5시간 뒤 = 3시 (12를 넘으면 처음으로 돌아감)
3. 루빅스 큐브 회전: 여러 회전을 연속으로 수행, 아무것도 안 한 상태로 되돌릴 수 있음

그러나 이 세 가지 모두 "결합법칙이 성립하고, 아무것도 안 한 것에 해당하는 원소가 있고, 되돌리는 방법이 있다"는 같은 규칙을 따릅니다. 추상대수학에서는 이 공통 규칙을 만족하는 구조를 군(Group)이라 부릅니다.

이런 곳에 쓰여요

선수 지식: 집합론, 대수학 기초

난이도: ★★★★★ (대학교 심화)

군 (Group)

군(Group) $(G, \ast)$은 집합 $G$와 이항연산 $\ast$가 다음 네 가지 공리를 만족하는 구조입니다.

교환법칙 $a \ast b = b \ast a$까지 성립하면 아벨군(Abelian Group) 또는 가환군이라 합니다. "순서를 바꿔도 결과가 같다"는 뜻입니다. 정수의 덧셈은 $3 + 5 = 5 + 3$이므로 아벨군이지만, 루빅스 큐브의 회전은 순서를 바꾸면 결과가 달라지므로 아벨군이 아닙니다.

군의 예 — 구체적으로 살펴보기

예시 1: 정수와 덧셈 $(\mathbb{Z}, +)$

가장 친숙한 군입니다. 정수 전체의 집합에서 덧셈 연산을 사용합니다.

• 닫힘: 정수 + 정수 = 정수입니다. 예: $3 + (-7) = -4 \in \mathbb{Z}$
• 결합법칙: $(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$
• 항등원: $0$입니다. 어떤 정수에 $0$을 더해도 변하지 않습니다.
• 역원: $a$의 역원은 $-a$입니다. $5 + (-5) = 0$ (항등원)

또한 $3 + 5 = 5 + 3$이므로 교환법칙도 성립합니다. 따라서 $(\mathbb{Z}, +)$는 아벨군입니다.

예시 2: 시계 산술 — 모듈러 군 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$

$n = 12$인 경우(12시간제 시계)를 살펴봅시다. 원소는 $\{0, 1, 2, \ldots, 11\}$이고, 덧셈은 12로 나눈 나머지를 취합니다.

7시에서 8시간이 지나면 3시가 되는 것과 같습니다. $5$의 역원은 $7$입니다 ($5 + 7 = 12 \equiv 0$). 이 군은 원소가 12개이므로 위수가 12인 유한군입니다.

예시 3: 대칭군 — 물건의 배치 바꾸기 $(S_n, \circ)$

카드 3장 A, B, C의 순서를 바꾸는 모든 방법을 모아놓은 것이 $S_3$입니다. 예를 들어, "A와 B를 교환"한 뒤 "B와 C를 교환"하는 것과, 순서를 바꿔서 하는 것은 결과가 다릅니다. 따라서 $S_3$는 교환법칙이 성립하지 않는, 가장 작은 비가환 군입니다.

군의 위수

군 $G$의 위수(Order) $|G|$는 원소의 개수입니다. 원소 $g$의 위수 $\text{ord}(g)$는 $g^n = e$를 만족하는 최소 양의 정수 $n$입니다. (위수가 무한일 수도 있습니다.)

순환군 (Cyclic Group)

하나의 원소 $g$로 전체 군을 생성할 수 있으면 순환군(Cyclic Group)이라 하고 $G = \langle g \rangle$로 표기합니다.

예시:

• 무한 순환군: $(\mathbb{Z}, +) = \langle 1 \rangle$ — $1$을 반복하여 더하거나 빼면 모든 정수를 만들 수 있으므로 $\mathbb{Z}$와 동형입니다.
• 위수 $n$ 순환군: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \langle \bar{1} \rangle$ — 시계 산술에서 $1$을 반복하여 더하면 $0, 1, 2, \ldots, n-1$의 모든 원소를 만들 수 있습니다.

구체적인 예: $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$에서 $\langle 2 \rangle = \{0, 2, 4\}$입니다. $2$를 반복하여 더하면 $2 \to 4 \to 0 \to 2 \to \cdots$이므로 $\{0, 2, 4\}$만 생성됩니다. 따라서 $\langle 2 \rangle$은 위수 $3$인 순환군입니다. 반면 $\langle 1 \rangle = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ 전체를 생성하므로, $1$은 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$의 생성원입니다.

부분군과 정규부분군

부분군 (Subgroup)

군 $G$의 부분집합 $H$가 같은 연산에 대하여 군을 이루면 부분군(Subgroup)이라 하며 $H \leq G$로 표기합니다.

부분군 판정법: $H \neq \emptyset$이고, 모든 $a, b \in H$에 대해 $ab^{-1} \in H$이면 $H \leq G$입니다.

구체적인 예: $(\mathbb{Z}, +)$에서 짝수의 집합 $2\mathbb{Z} = \{\ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots\}$는 부분군입니다. 짝수 + 짝수 = 짝수(닫힘), $0$은 짝수(항등원), 짝수의 부호를 바꾸면 짝수(역원)이기 때문입니다. 반면 홀수의 집합 $\{1, 3, 5, \ldots\}$는 부분군이 아닙니다. $1 + 3 = 4$는 홀수가 아니므로 닫혀 있지 않습니다.

잉여류 (Coset)

$H \leq G$이고 $g \in G$일 때:

• 좌잉여류: $gH = \{gh \mid h \in H\}$
• 우잉여류: $Hg = \{hg \mid h \in H\}$

좌잉여류들은 $G$를 분할합니다. 서로 다른 좌잉여류의 개수를 지표(Index) $[G:H]$라 합니다.

라그랑주 정리

증명 1: 잉여류를 이용한 증명 (고전적 방법)

$G$의 좌잉여류 분해 $G = g_1H \cup g_2H \cup \cdots \cup g_kH$를 생각합니다.

단계 1. 서로 다른 두 잉여류 $aH$와 $bH$는 서로소임을 보입니다. $aH \cap bH \neq \emptyset$이면 어떤 $h_1, h_2 \in H$에 대해 $ah_1 = bh_2$이므로 $a = bh_2h_1^{-1} \in bH$입니다. 따라서 임의의 $ah \in aH$에 대해 $ah = bh_2h_1^{-1}h \in bH$이므로 $aH \subseteq bH$이고, 대칭적 논증으로 $bH \subseteq aH$입니다. 따라서 $aH = bH$입니다.

단계 2. 모든 잉여류의 크기가 $|H|$임을 보입니다. 함수 $\varphi: H \to gH$를 $\varphi(h) = gh$로 정의하면, $gh_1 = gh_2 \Rightarrow h_1 = h_2$이므로 단사이고, 정의에 의해 전사입니다. 따라서 $|gH| = |H|$입니다.

단계 3. $G$는 $k = [G:H]$개의 서로소인 잉여류의 합집합이고, 각 잉여류의 크기가 $|H|$이므로: $$|G| = k \cdot |H| = [G:H] \cdot |H|$$ 따라서 $|H|$는 $|G|$의 약수입니다. $\blacksquare$

증명 2: 궤도-안정자 정리를 이용한 증명

$H$가 $G$ 위에 좌곱으로 작용한다고 봅니다. 즉 $h \cdot g = hg$로 정의합니다. $G$의 임의의 원소 $g$의 궤도는: $$\text{Orb}(g) = \{hg \mid h \in H\} = Hg$$ 이것은 우잉여류입니다. 안정자는 $\text{Stab}(g) = \{h \in H \mid hg = g\} = \{e\}$입니다.

궤도-안정자 정리에 의하여 $|\text{Orb}(g)| = |H| / |\text{Stab}(g)| = |H|/1 = |H|$입니다. 궤도들은 $G$를 분할하므로 궤도의 수를 $k$라 하면 $|G| = k \cdot |H|$입니다. $\blacksquare$

따름 정리:

• 원소의 위수는 군의 위수의 약수입니다.
• 소수 위수의 군은 순환군이며, 자명한 부분군 외에 부분군이 없습니다.
• 모든 $g \in G$에 대해 $g^{|G|} = e$입니다 (페르마 소정리의 일반화).

코시 정리

라그랑주 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않지만, 약수가 소수인 경우에는 코시 정리가 역의 역할을 합니다.

코시 정리의 증명 (McKay의 증명)

집합 $S = \{(a_1, a_2, \ldots, a_p) \in G^p \mid a_1 a_2 \cdots a_p = e\}$를 정의합니다.

단계 1. $|S| = |G|^{p-1}$입니다. $a_1, \ldots, a_{p-1}$을 자유롭게 선택하면 $a_p = (a_1 \cdots a_{p-1})^{-1}$로 유일하게 결정되기 때문입니다.

단계 2. 순환군 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$가 $S$ 위에 순환 이동으로 작용합니다: $$k \cdot (a_1, a_2, \ldots, a_p) = (a_{k+1}, a_{k+2}, \ldots, a_p, a_1, \ldots, a_k)$$ 이 작용이 잘 정의됨을 확인합니다: $a_1 a_2 \cdots a_p = e$이면 공액 관계에 의해 $a_{k+1} \cdots a_p a_1 \cdots a_k = e$입니다.

단계 3. 궤도의 크기는 $1$ 또는 $p$입니다 ($p$가 소수이므로). 크기 $1$인 궤도는 $(a, a, \ldots, a)$ 형태이며, 이는 $a^p = e$를 의미합니다.

단계 4. 크기 $1$인 궤도의 수를 $n_1$이라 하면 $|S| = n_1 + pm$ ($m$은 음이 아닌 정수)입니다. $|S| = |G|^{p-1}$이고 $p \mid |G|$이므로 $p \mid |S|$, 따라서 $p \mid n_1$입니다. $(e, e, \ldots, e)$가 크기 $1$인 궤도이므로 $n_1 \geq 1$이고, $p \mid n_1$이므로 $n_1 \geq p$입니다. 따라서 $e$가 아닌 원소 $a$로 $a^p = e$를 만족하는 것이 존재합니다. $\blacksquare$

정규부분군 (Normal Subgroup)

$N \leq G$가 모든 $g \in G$에 대하여 $gNg^{-1} = N$을 만족하면 정규부분군(Normal Subgroup)이라 하며 $N \trianglelefteq G$로 표기합니다.

동치 조건: 모든 $g \in G$에 대하여 $gN = Ng$ (좌잉여류 = 우잉여류).

예시:

• 아벨군에서는 모든 부분군이 정규부분군입니다 (교환법칙이 성립하므로 좌잉여류와 우잉여류가 자동으로 일치합니다).
• $\ker(\phi)$는 항상 정규부분군입니다.
• $A_n$ (교대군, 짝수 치환)은 $S_n$의 정규부분군입니다.

몫군 (Quotient Group)

$N \trianglelefteq G$일 때 잉여류의 집합에 연산 $(aN)(bN) = (ab)N$을 정의하면 몫군(Quotient Group) $G/N$이 됩니다.

예시: $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}\}$는 $\mathbb{Z}$를 $3\mathbb{Z}$로 나눈 몫군입니다. $\bar{0} = \{\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots\}$, $\bar{1} = \{\ldots, -5, -2, 1, 4, 7, \ldots\}$, $\bar{2} = \{\ldots, -4, -1, 2, 5, 8, \ldots\}$이며, 연산은 $\bar{1} + \bar{2} = \bar{0}$ (나머지끼리의 덧셈)입니다.

대칭군과 치환

대칭군(Symmetric Group) $S_n$은 $\{1, 2, \ldots, n\}$의 모든 치환(전단사 함수)의 집합으로, 합성 연산에 대해 군을 이룹니다.

$|S_n| = n!$이며, $n \geq 3$일 때 비가환입니다.

순환 표기법

치환을 순환(cycle)의 곱으로 표현합니다. 예를 들어 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$는 $(1\;2\;4\;3)$으로 쓸 수 있습니다.

단계별 읽기: $(1\;2\;4\;3)$은 "$1$은 $2$로, $2$는 $4$로, $4$는 $3$으로, $3$은 다시 $1$로 간다"는 뜻입니다. 화살표로 그리면 $1 \to 2 \to 4 \to 3 \to 1$의 순환입니다.

호환과 부호

길이 2인 순환 $(i\;j)$를 호환(Transposition)이라 합니다. 이것은 $i$번째와 $j$번째를 서로 바꾸는 것입니다. 모든 치환은 호환의 곱으로 분해됩니다.

• 짝수 개의 호환으로 분해되면 짝수 치환(Even Permutation), 부호 $\text{sgn}(\sigma) = +1$
• 홀수 개의 호환으로 분해되면 홀수 치환(Odd Permutation), 부호 $\text{sgn}(\sigma) = -1$

예시: $(1\;2\;3) = (1\;3)(1\;2)$로 분해됩니다. 호환 2개이므로 짝수 치환이고 $\text{sgn} = +1$입니다. 검증해 봅시다: $(1\;2)$를 먼저 적용하면 $1 \to 2, 2 \to 1$이고, 이어서 $(1\;3)$을 적용하면 $1 \to 3$입니다. 결과적으로 $1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 1$이 되어 $(1\;2\;3)$과 일치합니다.

교대군 (Alternating Group)

짝수 치환의 집합 $A_n$은 $S_n$의 정규부분군이며 $|A_n| = n!/2$입니다.

이면체군 (Dihedral Group)

정$n$각형의 대칭군 $D_n$은 $n$개의 회전과 $n$개의 반사로 구성됩니다.

여기서 $r$은 $360°/n$만큼의 회전, $s$는 하나의 반사(뒤집기)를 나타냅니다. $D_3 \cong S_3$은 가장 작은 비가환 군입니다.

준동형사상

준동형사상(Homomorphism)은 대수 구조를 보존하는 함수입니다.

군 준동형사상

$\phi: G \to H$가 군 준동형사상이면 모든 $a, b \in G$에 대하여:

기본 성질:

• $\phi(e_G) = e_H$ — 항등원은 항등원으로 갑니다
• $\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}$ — 역원은 역원으로 갑니다
• $\phi(a^n) = \phi(a)^n$ — 거듭제곱도 보존됩니다

핵과 상

• 핵(Kernel): $\ker(\phi) = \{g \in G \mid \phi(g) = e_H\}$ — $G$의 정규부분군
• 상(Image): $\text{Im}(\phi) = \{\phi(g) \mid g \in G\}$ — $H$의 부분군

$\phi$가 단사 $\iff$ $\ker(\phi) = \{e_G\}$

동형정리

동형사상의 종류

환 (Ring)

환(Ring) $(R, +, \cdot)$은 다음을 만족하는 집합입니다.

1. $(R, +)$는 아벨군입니다. (덧셈에 대해 교환법칙, 결합법칙, 항등원 $0$, 역원 $-a$ 존재)
2. 곱셈은 결합법칙을 만족합니다: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
3. 분배법칙이 성립합니다: $a(b+c) = ab + ac$, $(a+b)c = ac + bc$

곱셈의 항등원 $1$이 있으면 단위원이 있는 환(Unital Ring), 곱셈이 교환법칙을 만족하면 가환환(Commutative Ring)이라 합니다.

환의 예

이상 (Ideal)

환 $R$의 부분집합 $I$가 다음을 만족하면 이상(Ideal)이라 합니다:

1. $(I, +)$는 $(R, +)$의 부분군
2. 모든 $r \in R$, $a \in I$에 대해 $ra \in I$이고 $ar \in I$ (양측 흡수)

이상의 종류

주이상영역과 유클리드 정역

• 주이상영역(PID): 모든 이상이 주이상인 정역. 예: $\mathbb{Z}$, $F[x]$
• 유클리드 정역(ED): 나눗셈 알고리즘이 적용 가능한 정역. 모든 ED는 PID
• 유일 인수분해 정역(UFD): 소원소의 곱으로 유일하게 분해 가능. 모든 PID는 UFD

체 (Field)

체(Field) $(F, +, \cdot)$는 $0$이 아닌 원소에 대한 곱셈의 역원까지 존재하는 가환환입니다. 사칙연산이 자유롭게 가능한 구조입니다.

체의 공리 (요약)

• $(F, +)$는 아벨군 (항등원 $0$)
• $(F \setminus \{0\}, \cdot)$는 아벨군 (항등원 $1$)
• 분배법칙 성립
• $0 \neq 1$

대표적인 체

체의 표수 (Characteristic)

$1 + 1 + \cdots + 1 = 0$을 만족하는 최소 양의 정수 $p$가 있으면 $\text{char}(F) = p$이고, 없으면 $\text{char}(F) = 0$입니다. 체의 표수는 $0$이거나 소수입니다.

실로 정리 (Sylow Theorems)

유한군 $G$의 위수가 $|G| = p^n m$ ($p$는 소수, $\gcd(p, m) = 1$, $n \geq 1$)일 때:

실로 제1정리의 증명 스케치

$G$의 위수 $p^n$ 부분집합들의 집합에 $G$가 좌곱으로 작용합니다. 조합론적 논증으로 궤도 중 크기가 $p$로 나누어지지 않는 것이 존재함을 보이고, 그 궤도의 안정자가 위수 $p^n$인 부분군임을 증명합니다.

보다 구체적으로: $G$가 크기 $p^n$인 부분집합들의 집합 $\mathcal{X}$에 작용합니다. $|\mathcal{X}| = \binom{p^n m}{p^n}$이고, 뤼카 정리(Lucas' theorem)에 의해 $p \nmid |\mathcal{X}|$입니다. 궤도 분해 $|\mathcal{X}| = \sum |\text{Orb}(S_i)|$에서 모든 궤도 크기가 $p$의 배수이면 $p \mid |\mathcal{X}|$가 되어 모순입니다. 따라서 $p \nmid |\text{Orb}(S_0)|$인 궤도가 존재하고, $P = \text{Stab}(S_0)$이 위수 $p^n$인 부분군입니다. $\blacksquare$

실로 정리의 응용: 위수에 의한 군 분류

예제 1: 위수 15인 군은 순환군임을 증명

$|G| = 15 = 3 \times 5$입니다.

풀이:

• $n_3 \mid 5$이고 $n_3 \equiv 1 \pmod{3}$이므로 $n_3 \in \{1, 5\}$. $5 \not\equiv 1 \pmod{3}$이므로 $n_3 = 1$.
• $n_5 \mid 3$이고 $n_5 \equiv 1 \pmod{5}$이므로 $n_5 \in \{1, 3\}$. $3 \not\equiv 1 \pmod{5}$이므로 $n_5 = 1$.

$n_3 = n_5 = 1$이므로 실로 $3$-부분군 $P_3$와 실로 $5$-부분군 $P_5$는 모두 정규부분군입니다. $|P_3| = 3$, $|P_5| = 5$이고 $P_3 \cap P_5 = \{e\}$이며 $|P_3 P_5| = |P_3| \cdot |P_5| / |P_3 \cap P_5| = 15 = |G|$이므로 $G = P_3 \times P_5 \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$입니다.

예제 2: 위수 12인 군의 분류

$|G| = 12 = 2^2 \times 3$입니다.

실로 조건 분석:

• $n_2 \mid 3$이고 $n_2 \equiv 1 \pmod{2}$이므로 $n_2 \in \{1, 3\}$.
• $n_3 \mid 4$이고 $n_3 \equiv 1 \pmod{3}$이므로 $n_3 \in \{1, 4\}$.

경우 1: $n_3 = 1$이면 실로 $3$-부분군 $P_3 \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$가 정규입니다. 실로 $2$-부분군 $P_2$는 위수 $4$이므로 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 또는 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$입니다. $G$는 $P_3$에 의한 $P_2$의 반직접곱 $P_3 \rtimes P_2$가 됩니다.

경우 2: $n_3 = 4$이면 위수 $3$인 원소가 $4 \times 2 = 8$개입니다. 나머지 $12 - 8 = 4$개의 원소가 실로 $2$-부분군을 이루므로 $n_2 = 1$이고, 실로 $2$-부분군은 정규입니다.

이를 통해 위수 $12$인 군은 (동형 의미에서) 다음 $5$가지임이 알려져 있습니다: $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $A_4$, $D_6$, $\text{Dic}_3$ (이분면체군).

예제 3: 위수 $p^2$인 군은 아벨군임을 증명

$|G| = p^2$이고 $p$가 소수인 경우입니다.

풀이 (류 방정식 이용): $p$-군의 중심 $Z(G)$에 대해 류 방정식(class equation)에 의하여 $p \mid |Z(G)|$입니다. 따라서 $|Z(G)| = p$ 또는 $p^2$입니다.

• $|Z(G)| = p^2$이면 $G = Z(G)$이므로 $G$는 아벨군입니다.
• $|Z(G)| = p$이면 $G/Z(G)$의 위수가 $p$이므로 순환군이고, 이는 $G$가 아벨군임을 함의합니다 ($G/Z(G)$가 순환이면 $G$는 아벨). 이는 $|Z(G)| = p$라는 가정에 모순됩니다.

따라서 $|Z(G)| = p^2$이고 $G$는 아벨군입니다. 그러면 $G \cong \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ 또는 $G \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$입니다. $\blacksquare$

군의 작용 (Group Actions)

정의: 군 $G$가 집합 $X$ 위에 작용한다는 것은 함수 $G \times X \to X$, $(g, x) \mapsto g \cdot x$가 다음을 만족하는 것입니다:

1. $e \cdot x = x$ (항등원은 아무것도 하지 않음)
2. $(gh) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ (연속 적용은 곱과 일치)

궤도와 안정자

• 궤도(Orbit): $\text{Orb}(x) = \{g \cdot x \mid g \in G\}$ — $x$에서 도달 가능한 모든 점
• 안정자(Stabilizer): $\text{Stab}(x) = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}$ — $x$를 고정하는 원소들

증명: 함수 $\psi: G/\text{Stab}(x) \to \text{Orb}(x)$를 $\psi(g\,\text{Stab}(x)) = g \cdot x$로 정의합니다. $g_1\,\text{Stab}(x) = g_2\,\text{Stab}(x)$이면 $g_2^{-1}g_1 \in \text{Stab}(x)$이므로 $g_1 \cdot x = g_2 \cdot x$여서 $\psi$는 잘 정의됩니다. 단사성과 전사성도 직접 확인되므로 $\psi$는 전단사입니다. $\blacksquare$

류 방정식 (Class Equation)

$G$가 자기 자신 위에 공액으로 작용할 때 ($g \cdot x = gxg^{-1}$), 궤도는 공액류(conjugacy class)입니다. 중심 $Z(G) = \{g \in G \mid gx = xg, \forall x \in G\}$의 원소는 크기 $1$인 궤도를 이루므로:

여기서 합은 크기가 $2$ 이상인 공액류의 대표원 $x_i$에 대한 것이고, $C_G(x_i)$는 $x_i$의 중심화자(centralizer)입니다.

번사이드 보조정리 (Burnside's Lemma)

증명: 집합 $S = \{(g, x) \in G \times X \mid g \cdot x = x\}$의 크기를 두 가지 방법으로 셉니다.

• $g$ 기준: $|S| = \sum_{g \in G} |X^g|$
• $x$ 기준: $|S| = \sum_{x \in X} |\text{Stab}(x)|$

궤도-안정자 정리에 의해 $|\text{Stab}(x)| = |G| / |\text{Orb}(x)|$이므로:

따라서 $\sum_{g \in G} |X^g| = |G| \cdot |X/G|$이고, $|X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |X^g|$입니다. $\blacksquare$

색칠 문제에의 응용

예제: 정사각형의 꼭짓점을 2가지 색으로 칠하는 본질적으로 다른 방법의 수

정사각형의 4개 꼭짓점을 흰색(W) 또는 검은색(B)으로 칠합니다. 회전에 의해 같아지는 것은 같은 것으로 봅니다.

풀이 (번사이드 보조정리): 대칭군은 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} = \{e, r, r^2, r^3\}$ (회전만 고려)입니다. 전체 색칠 수는 $2^4 = 16$가지입니다.

따라서 본질적으로 다른 색칠 방법은 $6$가지입니다.

다른 풀이 (직접 나열): 검은 꼭짓점의 수로 분류합니다.

• $0$개 검정: WWWW — $1$가지
• $1$개 검정: BWWW (회전으로 모두 동일) — $1$가지
• $2$개 검정: 인접한 2개(BBWW) 또는 대각선 2개(BWBW) — $2$가지
• $3$개 검정: BBBW (회전으로 모두 동일) — $1$가지
• $4$개 검정: BBBB — $1$가지

합계: $1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6$가지. 번사이드 보조정리와 일치합니다.

직접곱과 반직접곱

직접곱 (Direct Product)

두 군 $G$와 $H$의 직접곱(Direct Product) $G \times H$는 순서쌍 $(g, h)$에 성분별 연산을 정의한 것입니다:

내부 직접곱 판정: $G$가 정규부분군 $N, K$를 가지고 $G = NK$, $N \cap K = \{e\}$이면 $G \cong N \times K$입니다.

반직접곱 (Semidirect Product)

직접곱에서는 두 인수가 서로 독립적으로 작용하지만, 반직접곱에서는 한 인수가 다른 인수에 작용합니다.

정의: 준동형사상 $\varphi: H \to \text{Aut}(N)$이 주어졌을 때, $N \rtimes_\varphi H$는 집합 $N \times H$ 위에 다음 연산을 부여한 것입니다:

예제: $D_3 \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$를 확인합니다. $\varphi: \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \text{Aut}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$에서 $\varphi(\bar{1})$은 $x \mapsto -x$ (반전)입니다. 연산은: $$(\bar{a}, \bar{0})(\bar{b}, \bar{0}) = (\overline{a+b}, \bar{0}), \quad (\bar{a}, \bar{1})(\bar{b}, \bar{0}) = (\overline{a-b}, \bar{1})$$ 이렇게 뒤집기($\bar{1}$)가 회전($\bar{b}$)의 방향을 반대로 바꾸는 것을 수식으로 확인할 수 있습니다.

자유군과 군의 표시

자유군 (Free Group)

집합 $S$에 의해 생성되는 자유군(Free Group) $F(S)$는, $S$의 원소와 그 역원으로 이루어진 "기약 단어(reduced word)"들의 집합입니다. 여기서 기약이란 $aa^{-1}$이나 $a^{-1}a$ 같은 인접 쌍이 없는 것을 뜻합니다.

예: $S = \{a, b\}$이면 $F(S)$의 원소 예: $e$, $a$, $b^{-1}$, $aba^{-1}b$, $b^2a^{-3}b$, ...

군의 표시 (Presentation)

군의 표시(Presentation)는 생성원(generators)과 관계(relations)의 쌍으로 군을 기술하는 것입니다:

여기서 $\langle\!\langle R \rangle\!\rangle$은 $R$에 의해 생성된 정규폐포(normal closure)입니다.

예시:

환론 심화

이데알 판정의 다양한 방법

주어진 부분집합이 이데알인지 판정하는 여러 접근법을 살펴봅니다.

예제: $I = \{f(x) \in \mathbb{Z}[x] \mid f(0) \equiv 0 \pmod{3}\}$이 $\mathbb{Z}[x]$의 이데알임을 증명

풀이 1: 정의에 의한 직접 증명

1. 비공 확인: $0 \in I$ ($f(x)=0$이면 $f(0) = 0 \equiv 0 \pmod{3}$).
2. 뺄셈 닫힘: $f, g \in I$이면 $(f-g)(0) = f(0) - g(0) \equiv 0 \pmod{3}$이므로 $f - g \in I$.
3. 흡수성: $f \in I$, $r \in \mathbb{Z}[x]$이면 $(rf)(0) = r(0) f(0)$. $f(0) \equiv 0 \pmod{3}$이므로 $r(0)f(0) \equiv 0 \pmod{3}$. 따라서 $rf \in I$. $\blacksquare$

풀이 2: 준동형사상의 핵으로 판정

환 준동형사상 $\phi: \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$를 $\phi(f) = f(0) \bmod 3$으로 정의합니다. $\phi$는 대입 사상과 모듈러 사상의 합성이므로 환 준동형사상입니다. 그러면: $$\ker(\phi) = \{f \in \mathbb{Z}[x] \mid f(0) \equiv 0 \pmod{3}\} = I$$ 준동형사상의 핵은 항상 이데알이므로 $I$는 이데알입니다. $\blacksquare$

극대이데알 판정

예제: $\langle x^2 + 1 \rangle$이 $\mathbb{R}[x]$의 극대이데알임을 증명

풀이 1: 몫환이 체임을 보이기

$\mathbb{R}[x] / \langle x^2 + 1 \rangle$의 원소는 $a + b\bar{x}$ ($a, b \in \mathbb{R}$) 형태이고, $\bar{x}^2 = -1$입니다. 따라서 이 몫환은 $\mathbb{C}$와 동형입니다. $\mathbb{C}$는 체이므로 $\langle x^2 + 1 \rangle$은 극대이데알입니다. $\blacksquare$

풀이 2: 기약성을 이용

$\mathbb{R}[x]$는 주이상영역(PID)입니다. PID에서 비영 이데알 $(f)$가 극대일 필요충분조건은 $f$가 기약(irreducible)인 것입니다. $x^2 + 1$은 $\mathbb{R}$에서 근을 갖지 않으므로 ($\Delta = -4 < 0$), $\mathbb{R}[x]$에서 기약입니다. 따라서 $\langle x^2 + 1 \rangle$은 극대이데알입니다. $\blacksquare$

환 준동형정리

군의 동형정리와 평행하게, 환에서도 동형정리가 성립합니다:

예제: $\phi: \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}$를 $\phi(f) = f(0)$ (대입 사상)으로 정의하면 $\ker(\phi) = \langle x \rangle$이고 $\text{Im}(\phi) = \mathbb{Z}$이므로: $$\mathbb{Z}[x] / \langle x \rangle \cong \mathbb{Z}$$

체론 심화

체 확대 (Field Extension)

체 $F$가 체 $E$의 부분체이면 $E/F$를 체 확대(Field Extension)라 합니다. $E$는 $F$ 위의 벡터 공간으로 볼 수 있으며, 그 차원 $[E:F] = \dim_F E$를 확대의 차수(degree)라 합니다.

응용: $\sqrt[3]{2} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$임을 증명합니다. $\sqrt[3]{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$라 가정하면 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2})$이므로 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] \mid [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]$, 즉 $3 \mid 2$이어야 합니다. 이는 모순이므로 $\sqrt[3]{2} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$입니다.

분해체 (Splitting Field)

다항식 $f(x) \in F[x]$가 체 $E$ 위에서 일차 인수의 곱으로 완전히 분해되고, $E$가 그러한 최소의 확대체이면 $E$를 $f$의 분해체(Splitting Field)라 합니다.

예시:

• $x^2 + 1 \in \mathbb{R}[x]$의 분해체: $\mathbb{C} = \mathbb{R}(i)$ ($x^2 + 1 = (x-i)(x+i)$)
• $x^3 - 2 \in \mathbb{Q}[x]$의 분해체: $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$ (여기서 $\omega = e^{2\pi i/3}$)
• $x^4 - 2 \in \mathbb{Q}[x]$의 분해체: $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, i)$

대수적 원소와 초월적 원소

$\alpha$가 $F$ 위의 어떤 다항식의 근이면 대수적(algebraic), 아니면 초월적(transcendental)이라 합니다.

• 대수적 예: $\sqrt{2}$ ($x^2 - 2 = 0$의 근), $i$ ($x^2 + 1 = 0$의 근)
• 초월적 예: $\pi$, $e$ (린데만-바이어슈트라스 정리에 의해 증명)

최소다항식: $\alpha$가 $F$ 위에서 대수적이면, $\alpha$를 근으로 갖는 최소 차수의 모닉 기약 다항식 $m_\alpha(x) \in F[x]$를 최소다항식(minimal polynomial)이라 합니다. $[F(\alpha):F] = \deg m_\alpha$입니다.

갈루아 이론

에바리스트 갈루아는 다항방정식의 근의 대칭성을 군론으로 분석하였습니다.

갈루아 군 (Galois Group)

정의: 체 확대 $E/F$에 대하여, $F$의 모든 원소를 고정하는 $E$의 자기동형사상 전체를 갈루아 군이라 합니다:

예제: $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})$를 구합니다. $\sigma \in \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})$는 $\mathbb{Q}$의 원소를 고정하므로 $\sigma(a + b\sqrt{2}) = a + b\sigma(\sqrt{2})$입니다. $\sigma(\sqrt{2})$는 $x^2 - 2$의 근이어야 하므로 $\sigma(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$ (항등) 또는 $\sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$ (켤레)입니다. 따라서 $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$입니다.

갈루아 확대와 갈루아 대응

체 확대 $E/F$가 갈루아 확대(Galois extension)란, $E$가 $F$ 위의 분리 가능 정규 확대인 것을 뜻합니다. 동치 조건으로, $|\text{Gal}(E/F)| = [E:F]$인 것과 같습니다.

예제: $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q})$의 갈루아 대응

$E = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, $F = \mathbb{Q}$이면 $[E:F] = 4$입니다. 갈루아 군은:

여기서 $\sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, \sigma(\sqrt{3}) = \sqrt{3}$이고, $\tau(\sqrt{2}) = \sqrt{2}, \tau(\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$입니다.

갈루아 대응:

방정식의 가해성 — 5차 이상 방정식에 근의 공식이 없는 이유

"근의 공식"이란 사칙연산과 거듭제곱근($\sqrt[n]{\phantom{x}}$)만으로 근을 표현하는 것입니다. 갈루아는 이것이 가능할 조건을 정확히 밝혔습니다.

단계별 논증:

1. 가해군이란? 군 $G$에서 $\{e\} = G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq G_k = G$인 정규부분군의 사슬이 존재하고, 각 단계의 몫군 $G_{i+1}/G_i$가 모두 아벨군이면, $G$를 가해군이라 합니다.
2. 2, 3, 4차의 경우: 이 방정식들의 갈루아 군은 가해군이므로, 근의 공식이 존재합니다.
3. 5차의 경우: 일반적인 5차 방정식의 갈루아 군은 $S_5$입니다. $S_5$는 단순군 $A_5$를 정규부분군으로 포함합니다. $A_5$는 자명하지 않은 정규부분군이 없으므로 (단순군), 위와 같은 사슬을 만들 수 없습니다. 따라서 $S_5$는 가해군이 아니며, 근의 공식이 존재하지 않습니다.

$A_5$가 단순군임의 증명 스케치

$|A_5| = 60$입니다. $A_5$의 공액류 크기는 $1, 12, 12, 15, 20$입니다 (합: $60$). 정규부분군은 공액류의 합집합이며 $\{e\}$를 포함해야 하므로, 위수가 $1 + ($일부 공액류 크기의 합$)$이면서 $60$의 약수여야 합니다. $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ 중에서 $\{12, 12, 15, 20\}$의 부분집합의 합 $+1$로 만들 수 있는 것은 $60$뿐입니다. 따라서 자명하지 않은 정규부분군이 없습니다. $\blacksquare$

$S_5$의 가해성 판별: 두 가지 방법

방법 1 (정규 사슬 직접 분석): $S_5$의 정규부분군은 $\{e\}$, $A_5$, $S_5$뿐입니다. 가해열을 만들려면 $\{e\} \trianglelefteq A_5 \trianglelefteq S_5$에서 $A_5/\{e\} = A_5$가 아벨이어야 하지만, $|A_5| = 60$이고 비가환이므로 실패합니다. 따라서 가해군이 아닙니다.

방법 2 (교환자 부분군 이용): $G^{(0)} = G$, $G^{(k+1)} = [G^{(k)}, G^{(k)}]$ (교환자 부분군의 반복)로 도함 열(derived series)을 정의합니다. $G$가 가해군이면 유한 단계에서 $\{e\}$에 도달해야 합니다. $S_5^{(1)} = A_5$이고, $A_5$는 단순군이므로 $A_5^{(1)} = A_5 \neq \{e\}$입니다. 따라서 도함 열이 $\{e\}$에 도달하지 못하고, $S_5$는 가해군이 아닙니다.

갈루아 이론의 계산 예제

예제: $f(x) = x^4 - 2$의 갈루아 군

$f$의 근은 $\sqrt[4]{2},\; i\sqrt[4]{2},\; -\sqrt[4]{2},\; -i\sqrt[4]{2}$입니다. 분해체는 $E = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, i)$이고, $[E:\mathbb{Q}] = 8$입니다.

차수 계산: $[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}] = 4$ ($x^4 - 2$는 아이젠슈타인 판정법에 의해 기약)이고, $[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, i):\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})] = 2$ ($i \notin \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \subset \mathbb{R}$)이므로 곱 법칙에 의해 $[E:\mathbb{Q}] = 8$입니다.

따라서 $|\text{Gal}(E/\mathbb{Q})| = 8$이고, 이 군은 $D_4$ (이면체군, 위수 $8$)와 동형입니다. $D_4$는 가해군이므로 (가해열: $\{e\} \trianglelefteq \langle r^2 \rangle \trianglelefteq \langle r \rangle \trianglelefteq D_4$) $x^4 - 2 = 0$은 거듭제곱근으로 풀 수 있습니다.

다양한 증명 예제

페르마 소정리의 세 가지 증명

증명 1: 라그랑주 정리에 의한 증명 (군론적 방법)

$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$는 위수 $p-1$인 군이고, $\bar{a} \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$입니다. 라그랑주 정리의 따름정리에 의하여 $\bar{a}^{p-1} = \bar{1}$, 즉 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$입니다. $\blacksquare$

증명 2: 수학적 귀납법에 의한 증명 (초등적 방법)

$a^p \equiv a \pmod{p}$ (동치 형태)를 $a$에 대한 귀납법으로 증명합니다.

기초: $a = 0$이면 $0^p = 0 \equiv 0 \pmod{p}$. 성립합니다.

귀납 단계: $a^p \equiv a \pmod{p}$가 성립한다고 가정합니다. 이항정리에 의해: $$(a+1)^p = \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a^k = a^p + \binom{p}{1}a^{p-1} + \cdots + \binom{p}{p-1}a + 1$$ $0 < k < p$이면 $\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}$에서 분자에 $p$가 있고 분모에는 없으므로 $p \mid \binom{p}{k}$입니다. 따라서: $$(a+1)^p \equiv a^p + 1 \equiv a + 1 \pmod{p} \quad \blacksquare$$

증명 3: 목걸이 세기 (조합론적 방법)

$p$개의 구슬을 $a$가지 색으로 칠하여 원형 목걸이를 만드는 경우의 수를 셉니다.

일렬로 세우면 $a^p$가지입니다. 원형 회전으로 같은 것을 동일시하면, 단색 목걸이($a$가지)를 제외한 모든 목걸이는 정확히 $p$개의 일렬 배열에 대응합니다 ($p$가 소수이므로). 따라서: $$a^p = a + p \cdot (\text{비단색 목걸이 수})$$ 이므로 $p \mid (a^p - a)$입니다. $\blacksquare$

유한군의 원소의 위수가 군의 위수를 나눔: 두 가지 증명

증명 1: 라그랑주 정리 이용

$g \in G$의 위수가 $d$이면 $\langle g \rangle = \{e, g, g^2, \ldots, g^{d-1}\}$은 위수 $d$인 부분군입니다. 라그랑주 정리에 의해 $d \mid |G|$입니다. $\blacksquare$

증명 2: 직접 증명 (라그랑주 정리 없이)

$G = \{g_1, g_2, \ldots, g_n\}$이고 $g$의 위수가 $d$라 합시다. $G$의 원소들을 $\langle g \rangle$의 잉여류로 분할합니다. 사상 $\varphi_a: \langle g \rangle \to a\langle g \rangle$, $\varphi_a(h) = ah$는 전단사이므로 모든 잉여류의 크기는 $d$입니다. $G$가 크기 $d$인 잉여류들로 분할되므로 $d \mid n = |G|$입니다. $\blacksquare$

$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$가 순환군임의 두 가지 증명

증명 1: 원소의 위수 분석

$|\!(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\!| = p - 1$입니다. $d \mid (p-1)$에 대해 $x^d - 1 \equiv 0 \pmod{p}$의 근이 최대 $d$개이므로, 위수가 정확히 $d$인 원소의 수 $\psi(d) \leq \phi(d)$ ($\phi$는 오일러 함수)입니다. $\sum_{d \mid (p-1)} \psi(d) = p - 1 = \sum_{d \mid (p-1)} \phi(d)$이고 $\psi(d) \leq \phi(d)$이므로 모든 $d$에 대해 $\psi(d) = \phi(d)$입니다. 특히 $\psi(p-1) = \phi(p-1) \geq 1$이므로 위수 $p-1$인 원소(원시근)가 존재합니다. $\blacksquare$

증명 2: 유한체의 곱셈군의 구조 정리 이용

유한 아벨군의 기본정리에 의해 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times \cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}$ ($d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_k$)입니다. 이 군의 모든 원소는 $x^{d_k} = 1$을 만족하므로 $x^{d_k} - 1 \equiv 0 \pmod{p}$의 근이 $p - 1$개입니다. 다항식의 근의 개수가 차수 이하이므로 $d_k \geq p - 1$. $d_k \mid (p-1)$이므로 $d_k = p - 1$이고 $k = 1$입니다. 따라서 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$는 순환군입니다. $\blacksquare$

응용

참고자료

• Dummit, D. S. & Foote, R. M. — Abstract Algebra, Wiley
• Hungerford, T. W. — Algebra, Springer
• Artin, M. — Algebra, Pearson
• Fraleigh, J. B. — A First Course in Abstract Algebra, Pearson
• Jacobson, N. — Basic Algebra I, II, W.H. Freeman
• 선형대수학 — 벡터 공간은 체 위의 대수 구조
• 정수론 — 환과 체의 응용
• 집합론 — 관계와 동치류
• 대수학 기초 — 다항방정식과 갈루아 이론의 동기