함수의 기초 (Introduction to Functions)

자판기에 동전을 넣으면 음료수가 나오듯이, 함수는 "입력을 넣으면 출력이 나오는 규칙"입니다. 이 페이지에서는 함수가 무엇인지, 그래프를 어떻게 그리는지, 일차함수와 이차함수는 어떤 모양인지 쉽게 알아봅니다.

이런 곳에 쓰여요

  • 자판기: 버튼(입력)을 누르면 정해진 음료(출력)가 나오는 것이 함수
  • 환율 계산: 원화 금액을 넣으면 달러로 바꿔주는 환율 계산기
  • 택시 요금: 거리에 따라 요금이 정해지는 택시 미터기가 일차함수
  • 체질량지수(BMI): 키와 몸무게를 넣으면 건강 지표가 나오는 것도 함수
난이도: ★☆☆☆☆ (매우 쉬움)
선수 지식: 수와 연산, 방정식과 부등식의 기본 개념을 알면 충분합니다.

함수란 무엇인가?

함수의 핵심 규칙은 딱 하나입니다:

함수의 정의: 하나의 입력에 정확히 하나의 출력이 대응하는 관계를 함수라고 합니다.

자판기 비유로 이해하기

자판기를 생각해 보십시오. 버튼 1번을 누르면 콜라가 나오고, 버튼 2번을 누르면 사이다가 나옵니다. 여기서 중요한 것은:

수학에서 함수도 이와 같습니다. 버튼 = 입력($x$), 음료 = 출력($f(x)$)이라고 생각하면 됩니다.

$f(x)$ 표기법

함수를 나타낼 때 보통 $f(x)$라고 씁니다. 여기서:

예시: $f(x) = 2x + 1$이면

정의역, 공역, 치역

이 세 용어가 처음에는 헷갈리지만, 자판기 비유를 다시 쓰면 쉽게 이해할 수 있습니다.

용어뜻예시 ($f(x) = x^2$, $x$는 정수)
정의역입력으로 넣을 수 있는 모든 값의 집합$\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
공역출력이 속할 수 있는 범위정수 전체
치역실제로 나오는 출력 값의 집합$\{0, 1, 4, 9, 16, \ldots\}$
공역 ≠ 치역에 주의하십시오! $f(x) = x^2$에서 공역이 정수 전체라 하더라도, 실제 출력에는 $-1$이나 $-5$ 같은 음수가 나올 수 없습니다. 치역은 $\{0, 1, 4, 9, \ldots\}$으로 공역보다 작습니다.

함수가 아닌 것

하나의 입력에 두 가지 이상의 출력이 나오면 함수가 아닙니다.

예시: $x = 4$일 때 $y = 2$ 또는 $y = -2$가 나온다면, 이것은 함수가 아닙니다. (하나의 입력 4에 출력이 두 개이므로)

수직선 판정법 (그래프에서 함수인지 확인하기)

그래프가 주어졌을 때, 함수인지 아닌지 쉽게 판별하는 방법이 있습니다. 수직선(세로선)을 그래프 위에 왼쪽에서 오른쪽으로 쭉 이동시켜 봅니다. 수직선이 그래프와 항상 한 점에서만 만나면 함수이고, 어딘가에서 두 점 이상에서 만나면 함수가 아닙니다.

예를 들어 원($x^2 + y^2 = r^2$)의 그래프에 수직선을 그으면 대부분의 위치에서 두 점과 만나므로, 원은 함수가 아닙니다.

함수 다이어그램

입력이 함수 상자를 거쳐 출력이 되는 과정을 그림으로 나타내면 다음과 같습니다:

입력 $x$ 함수 $f$ 출력 $f(x)$
기억하기: 함수는 "마법 상자"와 같습니다. 왼쪽에서 입력($x$)을 넣으면, 상자가 규칙에 따라 처리해서 오른쪽으로 출력($f(x)$)을 내보냅니다. 중요한 것은, 같은 입력을 넣으면 항상 같은 출력이 나온다는 점입니다.

표와 그래프

함수를 나타내는 방법은 크게 세 가지입니다:

방법설명
식$f(x) = 2x + 1$ 처럼 수식으로 표현
표입력과 출력을 표로 정리
그래프좌표평면 위에 점을 찍고 이어서 표현

표로 나타내기

$f(x) = 2x + 1$의 값을 표로 만들어 봅시다:

$x$12345
$f(x) = 2x + 1$357911

$x$가 1씩 증가할 때마다 $f(x)$는 2씩 증가합니다. 이 "2"가 나중에 배울 기울기입니다.

좌표평면

그래프를 그리려면 먼저 좌표평면을 알아야 합니다:

$x$ $y$ O 제1사분면 $(+, +)$ 제2사분면 $(-, +)$ 제3사분면 $(-, -)$ 제4사분면 $(+, -)$ 1 2 $-1$ 1 2 $-1$

그래프로 나타내기

표에서 구한 점 $(1, 3)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$, $(4, 9)$를 좌표평면에 찍고 직선으로 이으면 $f(x) = 2x + 1$의 그래프가 됩니다.

점 찍는 방법: 점 $(2, 5)$를 찍으려면, $x$축에서 오른쪽으로 2만큼, $y$축에서 위로 5만큼 가면 됩니다. 간단하죠?

정비례와 일차함수

정비례: $y = ax$

정비례는 가장 간단한 형태의 함수입니다:

$$y = ax$$

예시: 사과 1개에 500원이면, $x$개의 가격은 $y = 500x$입니다. 이것이 정비례!

일차함수: $y = ax + b$

정비례에 상수 $b$를 더한 것이 일차함수입니다:

$$y = ax + b$$

실생활 예시: 택시 요금

택시 기본요금이 4,800원이고, 1km마다 1,000원씩 추가된다고 합시다. $x$km를 탔을 때 요금 $y$는:

$$y = 1000x + 4800$$

여기서 기울기 $a = 1000$은 "1km당 추가 요금"이고, $y$절편 $b = 4800$은 "기본요금(출발할 때 이미 내는 돈)"입니다. 기울기가 클수록 요금이 빨리 올라가고, $y$절편이 클수록 처음부터 비쌉니다.

기울기의 의미: 기울기 $a$는 "$x$가 1만큼 증가할 때, $y$가 얼마나 변하는가"를 뜻합니다.
$a = 2$이면 $x$가 1 증가할 때 $y$는 2 증가합니다.
$a = -3$이면 $x$가 1 증가할 때 $y$는 3 감소합니다.

기울기가 다른 세 가지 직선

$x$ $y$ O $y = 2x$ (양의 기울기) $y = -x + 1$ (음의 기울기) $y = -2$ (기울기 = 0)

기울기 공식

기울기를 정확한 숫자로 구하려면 그래프 위의 두 점을 이용합니다. 예를 들어 점 $(1, 3)$과 점 $(3, 7)$을 지나는 직선이 있다면, $x$가 $1$에서 $3$으로 2만큼 증가할 때 $y$는 $3$에서 $7$로 4만큼 증가합니다. 따라서 기울기는 $\frac{4}{2} = 2$입니다. 이것을 일반화하면:

두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$를 지나는 직선의 기울기는:

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

예시: 두 점 $(1, 3)$과 $(4, 9)$를 지나는 직선의 기울기는:

$$a = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$$

$x$절편과 $y$절편 구하기

절편구하는 방법의미
$y$절편$x = 0$을 대입그래프가 $y$축과 만나는 점
$x$절편$y = 0$을 대입해서 $x$를 구함그래프가 $x$축과 만나는 점

예시: $y = 2x - 3$ 그래프 그리기

단계별로 해봅시다:

  1. $y$절편 구하기: $x = 0$을 대입하면 $y = 2(0) - 3 = -3$. 점 $(0, -3)$을 찍습니다.
  2. $x$절편 구하기: $y = 0$을 대입하면 $0 = 2x - 3$이므로 $x = \frac{3}{2} = 1.5$. 점 $(1.5, 0)$을 찍습니다.
  3. 추가 점 구하기: $x = 2$를 대입하면 $y = 2(2) - 3 = 1$. 점 $(2, 1)$을 찍습니다.
  4. 점들을 직선으로 연결합니다.
$x$ $y$ O 1 2 3 $-1$ 1 2 $-1$ $-2$ $-3$ $y = 2x - 3$ $(0, -3)$ $(1.5, 0)$ $(2, 1)$
꿀팁: 일차함수 그래프를 그릴 때는 점 2개만 찍으면 충분합니다! $x$절편과 $y$절편을 찍고 이으면 빠르게 그릴 수 있습니다.

기울기에 따른 직선의 변화

기울기 $a$그래프의 모양예시
$a > 0$ (양수)오른쪽 위로 올라감$y = 2x$, $y = \frac{1}{2}x$
$a < 0$ (음수)오른쪽 아래로 내려감$y = -x$, $y = -3x$
$a = 0$수평선 ($x$축과 평행)$y = 5$
$|a|$가 크면가파른 직선$y = 5x$는 $y = x$보다 가파름
$|a|$가 작으면완만한 직선$y = 0.2x$는 거의 수평

반비례

반비례 함수는 다음과 같은 형태입니다:

$$y = \frac{a}{x} \quad (x \neq 0)$$

$x$가 커지면 $y$가 작아지고, $x$가 작아지면 $y$가 커집니다.

실생활 예시

상황식설명
거리 = 120 km, 속력과 시간$\text{시간} = \frac{120}{\text{속력}}$빨리 가면 시간이 줄어듦
작업량이 일정할 때$\text{시간} = \frac{60}{\text{사람 수}}$사람이 많으면 시간이 줄어듦
직사각형 넓이 = 24$\text{세로} = \frac{24}{\text{가로}}$가로가 길면 세로가 줄어듦

반비례 그래프: 쌍곡선

$y = \frac{6}{x}$의 그래프를 그려봅시다:

$x$1236$-1$$-2$$-3$$-6$
$y$6321$-6$$-3$$-2$$-1$
$x$ $y$ O 1 2 3 $-1$ $-2$ 1 2 3 $-1$ $-2$ $(1, 6)$ $(2, 3)$ $(3, 2)$ $(-1, -6)$ $(-2, -3)$ $y = \frac{6}{x}$
주의: 반비례 함수 $y = \frac{a}{x}$에서 $x = 0$은 넣을 수 없습니다. 0으로 나눌 수 없기 때문입니다! 그래프도 $y$축에 닿지 않고 한없이 가까워지기만 합니다.
비례상수의 부호:
$a > 0$이면 그래프가 제1사분면과 제3사분면에 나타납니다.
$a < 0$이면 그래프가 제2사분면과 제4사분면에 나타납니다.

그래프 읽기

함수의 그래프를 보면 많은 정보를 읽어낼 수 있습니다.

증가와 감소

최댓값과 최솟값

두 그래프의 교점

두 함수의 그래프가 만나는 점은 두 식을 동시에 만족하는 점입니다. 이것은 연립방정식의 해와 같습니다!

예시: $y = x + 1$과 $y = -x + 5$의 교점은?

$$x + 1 = -x + 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2, \quad y = 3$$

교점: $(2, 3)$

하루 동안의 기온 변화 그래프

아래 그래프는 어느 날의 시간에 따른 기온 변화를 나타낸 것입니다:

기온 시각 5 10 15 20 25 6시 9시 12시 15시 18시 21시 최댓값: 24도 증가 구간 감소 구간

이 그래프에서 읽을 수 있는 정보:

그래프 읽기 연습: 그래프를 볼 때는 항상 다음을 확인하십시오: (1) 가로축과 세로축이 무엇을 나타내는지, (2) 올라가는 부분과 내려가는 부분은 어디인지, (3) 가장 높은 점과 가장 낮은 점은 어디인지.

이차함수 맛보기

일차함수의 그래프가 직선이라면, 이차함수의 그래프는 부드러운 곡선입니다. 이차함수의 기본 형태는:

$$y = ax^2$$

포물선의 모양

조건그래프 모양예시
$a > 0$ (양수)아래로 열림 (U자 모양)$y = x^2$, $y = 2x^2$
$a < 0$ (음수)위로 열림 (뒤집힌 U자)$y = -x^2$, $y = -\frac{1}{2}x^2$

$y = x^2$의 값 표

$x$$-3$$-2$$-1$0123
$y = x^2$9410149

$x = -3$과 $x = 3$의 $y$ 값이 같고, $x = -2$와 $x = 2$의 $y$ 값이 같습니다. 이처럼 이차함수 그래프는 좌우 대칭입니다!

$x$ $y$ O 1 2 3 $-1$ $-2$ $-3$ 1 2 $y = x^2$ $y = -x^2$ 꼭짓점 $(0, 0)$ 대칭축

꼭짓점과 대칭축

$|a|$의 크기에 따른 변화

실생활에서의 포물선

일반형: $y = ax^2 + bx + c$

$y = ax^2$는 꼭짓점이 항상 원점에 있었지만, $b$와 $c$가 추가되면 포물선이 좌우, 위아래로 이동합니다.

꼭짓점의 좌표

$y = ax^2 + bx + c$의 꼭짓점은:

$$\text{꼭짓점} = \left(-\frac{b}{2a}, \; c - \frac{b^2}{4a}\right)$$

예시: $y = x^2 - 4x + 3$에서 $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$이므로

$$x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2, \quad y = 3 - \frac{(-4)^2}{4 \times 1} = 3 - 4 = -1$$

꼭짓점은 $(2, -1)$이고, 대칭축은 $x = 2$입니다.

축의 방정식

포물선의 대칭축은 $x = -\frac{b}{2a}$입니다. 이 직선을 기준으로 포물선의 왼쪽과 오른쪽이 거울처럼 대칭입니다.

왜 꼭짓점이 중요할까요?
$a > 0$이면 꼭짓점이 최솟값을 줍니다. (U자의 가장 낮은 점)
$a < 0$이면 꼭짓점이 최댓값을 줍니다. (뒤집힌 U자의 가장 높은 점)
공을 위로 던졌을 때 가장 높은 점(최댓값)을 구하는 문제, 물건을 가장 싸게 사는 문제 등에서 이차함수의 꼭짓점이 핵심입니다.

함수의 합성

두 개의 함수를 연달아 적용하는 것을 합성(composition)이라고 합니다.

합성의 개념

비유하자면, 자판기 두 대가 연결되어 있다고 상상해 보십시오. 첫 번째 자판기에 동전을 넣으면 티켓이 나오고, 그 티켓을 두 번째 자판기에 넣으면 음료가 나옵니다. 이처럼 첫 번째 함수의 출력이 두 번째 함수의 입력이 되는 것이 합성입니다.

수학으로 쓰면:

$$\text{함수 } f \text{를 먼저 적용하고, 그 결과에 } g \text{를 적용} \quad \to \quad (g \circ f)(x) = g(f(x))$$

예시: $f(x) = 2x$이고 $g(x) = x + 3$일 때

순서가 중요합니다! 위 예시에서 $g \circ f$와 $f \circ g$의 결과가 다릅니다! $2x + 3 \neq 2x + 6$이므로 합성의 순서를 바꾸면 보통 다른 함수가 됩니다. 옷을 입을 때 양말을 먼저 신고 신발을 신는 것과, 신발을 먼저 신고 양말을 신는 것이 다른 것과 같습니다.

합성 함수의 값 구하기

$f(x) = x^2$이고 $g(x) = x - 1$일 때, $(g \circ f)(3)$을 구해봅시다:

  1. 먼저 $f(3) = 3^2 = 9$를 구합니다.
  2. 그 결과를 $g$에 넣습니다: $g(9) = 9 - 1 = 8$
  3. 따라서 $(g \circ f)(3) = 8$입니다.

역함수 기초

역함수란 함수의 작용을 거꾸로 되돌리는 함수입니다.

역함수의 개념

자판기에 500원을 넣으면 콜라가 나온다고 합시다. 역함수는 "콜라를 넣으면 500원이 나오는 기계"입니다. 즉, 원래 함수가 하는 일을 정확히 반대로 합니다.

수학적으로, $f(x) = y$이면 $f$의 역함수 $f^{-1}$은 $f^{-1}(y) = x$를 만족합니다.

역함수 구하는 방법

$f(x) = 2x + 3$의 역함수를 구해봅시다:

  1. $y = 2x + 3$이라 놓습니다.
  2. $x$에 대해 풀어봅니다: $y - 3 = 2x$이므로 $x = \frac{y - 3}{2}$
  3. $x$와 $y$를 바꿉니다: $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$

검산해 봅시다!

역함수가 맞는지 확인하려면, 합성해서 원래 값이 나오는지 보면 됩니다:

$$f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = (x - 3) + 3 = x \quad \checkmark$$
역함수가 존재하려면? 모든 함수에 역함수가 있는 것은 아닙니다. 역함수가 존재하려면 함수가 일대일 대응이어야 합니다. 즉, 서로 다른 입력은 반드시 서로 다른 출력을 내야 합니다. 예를 들어 $f(x) = x^2$은 $f(2) = 4$이고 $f(-2) = 4$로, 다른 입력이 같은 출력을 내므로 (정의역이 모든 실수일 때) 역함수가 존재하지 않습니다.

역함수의 그래프

역함수의 그래프는 원래 함수의 그래프를 직선 $y = x$에 대해 대칭시킨 것입니다. $x$와 $y$를 바꾸는 것이므로, 점 $(a, b)$가 점 $(b, a)$로 바뀌기 때문입니다.

기억하기: 함수가 "잠그는 자물쇠"라면, 역함수는 "여는 열쇠"입니다. $f$가 어떤 값을 바꾸면, $f^{-1}$은 그것을 원래대로 되돌려 놓습니다.

연습 문제

문제 1: 함수 값 구하기

$f(x) = 3x - 2$일 때, 다음을 구하십시오:

  1. $f(1)$
  2. $f(0)$
  3. $f(-2)$
  4. $f(a) = 7$일 때 $a$의 값
풀이:
(1) $f(1) = 3(1) - 2 = 1$
(2) $f(0) = 3(0) - 2 = -2$
(3) $f(-2) = 3(-2) - 2 = -8$
(4) $3a - 2 = 7$이므로 $3a = 9$, 따라서 $a = 3$

문제 2: 기울기와 $y$절편

다음 일차함수의 기울기와 $y$절편을 구하십시오:

  1. $y = 4x + 3$
  2. $y = -2x + 5$
  3. $y = \frac{1}{2}x - 1$
풀이: $y = ax + b$에서 $a$가 기울기, $b$가 $y$절편입니다.
(1) 기울기 $= 4$, $y$절편 $= 3$
(2) 기울기 $= -2$, $y$절편 $= 5$
(3) 기울기 $= \frac{1}{2}$, $y$절편 $= -1$

문제 3: 두 점을 지나는 직선의 기울기

두 점 $(2, 1)$과 $(5, 7)$을 지나는 직선의 기울기를 구하십시오.

풀이: $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

문제 4: 반비례 활용

학교에서 집까지의 거리가 12 km입니다. 속력(시속)에 따른 걸리는 시간을 반비례 함수로 나타내십시오.

풀이: 거리 = 속력 $\times$ 시간이므로, 시간 $= \frac{\text{거리}}{\text{속력}}$입니다.
$$y = \frac{12}{x}$$ 여기서 $x$는 속력(km/h), $y$는 시간(h)입니다.
시속 4 km로 걸으면: $y = \frac{12}{4} = 3$시간
시속 12 km로 자전거를 타면: $y = \frac{12}{12} = 1$시간

핵심 정리

함수 종류식그래프 모양핵심 특징
정비례$y = ax$원점을 지나는 직선$a$: 비례상수
일차함수$y = ax + b$직선$a$: 기울기, $b$: $y$절편
반비례$y = \frac{a}{x}$쌍곡선$x = 0$일 때 정의 안 됨
이차함수$y = ax^2 + bx + c$포물선꼭짓점: $\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)$
합성함수$(g \circ f)(x) = g(f(x))$—함수를 연달아 적용, 순서 중요
역함수$f^{-1}(x)$$y = x$ 대칭$f(f^{-1}(x)) = x$

다음 단계

참고자료