기하학 (Geometry)

기하학은 도형의 성질과 공간의 구조를 연구하는 수학 분야입니다. 고대 그리스 시대부터 발전해 왔으며, 유클리드의 원론(Elements)이 그 출발점입니다. 기하학은 크게 유클리드 기하, 해석기하, 공간기하, 비유클리드 기하 등으로 나뉘며, 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에 응용됩니다.

이런 곳에 쓰여요

선수 지식: 도형과 측정

난이도: ★★★☆☆ (고등학교 심화)

유클리드 공리와 공준

유클리드는 원론 제1권에서 5개의 공리(Common Notions)와 5개의 공준(Postulates)을 제시하여 기하학의 논리적 토대를 세웠습니다.

5가지 공리 (공통 관념)

공리는 기하학에 국한되지 않는 일반적 논리 원리입니다.

1. 같은 것에 같은 것은 서로 같다. — $A = C$이고 $B = C$이면 $A = B$입니다.
2. 같은 것에 같은 것을 더하면 그 결과도 같다. — $A = B$이면 $A + C = B + C$입니다.
3. 같은 것에서 같은 것을 빼면 그 나머지도 같다. — $A = B$이면 $A - C = B - C$입니다.
4. 서로 겹치는 것은 같다. — 두 도형이 완전히 포개지면 합동입니다.
5. 전체는 부분보다 크다.

5가지 공준

공준은 기하학 고유의 전제입니다.

기본 성질

• 삼각형의 내각의 합은 $180°$입니다.
• 평행선과 횡단선이 이루는 동위각, 엇각은 같습니다.
• 직선 위의 각의 합(평각)은 $180°$이고, 한 점 둘레의 각의 합(주각)은 $360°$입니다.
• 외각 정리: 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같습니다.
• $n$각형의 내각의 합은 $(n-2) \times 180°$입니다.

삼각형의 성질

삼각형의 분류

삼각형의 합동 조건

두 삼각형이 합동이란 대응하는 변의 길이와 각의 크기가 모두 같다는 뜻입니다. 다음 조건 중 하나만 성립하면 합동입니다.

삼각형의 닮음 조건

두 삼각형이 닮음이란 대응하는 각이 같고 대응하는 변의 비가 일정하다는 뜻입니다.

닮음비가 $k$이면 넓이비는 $k^2$, 부피비는 $k^3$입니다.

피타고라스 정리

직각삼각형에서 빗변의 길이를 $c$, 나머지 두 변의 길이를 $a$, $b$라 하면:

증명 (넓이를 이용한 증명): 한 변의 길이가 $(a+b)$인 정사각형 안에 빗변이 $c$인 직각삼각형 4개를 배치하면, 바깥 정사각형의 넓이 $(a+b)^2$은 안쪽 정사각형 $c^2$과 직각삼각형 4개의 넓이 $4 \cdot \frac{ab}{2}$의 합과 같습니다.

삼각형의 넓이 공식

삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $a, b, c$, 대응하는 각을 $A, B, C$, 외접원의 반지름을 $R$, 내접원의 반지름을 $r$이라 하면:

삼각형의 오심

삼각형에는 다섯 가지 주요한 중심(오심)이 있습니다.

삼각형에 관한 추가 정리

• 중점연결정리: 삼각형의 두 변의 중점을 잇는 선분은 나머지 한 변에 평행하고 길이가 그 절반입니다.
• 각의 이등분선 정리: 삼각형에서 한 각의 이등분선은 대변을 나머지 두 변의 비로 내분합니다. $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
• 스튜어트 정리: 삼각형 $ABC$에서 $A$로부터 $BC$ 위의 점 $D$까지의 선분(cevian)에 대해 $b^2 m + c^2 n - a(m \cdot n + d^2 \cdot a^{-1} \cdot a) = 0$... 보다 간결하게: $b^2 m + c^2 n = a(d^2 + mn)$ (단, $BD = m$, $DC = n$, $AD = d$, $a = m + n$).
• 메넬라우스 정리: 삼각형의 세 변(또는 그 연장선) 위의 점이 한 직선 위에 있을 조건: $\dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = -1$
• 체바 정리: 삼각형의 세 꼭짓점에서 대변 위의 점으로의 세 직선(체비안)이 한 점에서 만날 조건: $\dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1$

원과 원주율

원(Circle)은 평면 위에서 한 정점(중심)으로부터 같은 거리($r$, 반지름)에 있는 점들의 집합입니다.

• 둘레: $C = 2\pi r$
• 넓이: $A = \pi r^2$
• 호의 길이: 중심각이 $\theta$ (라디안)일 때 $l = r\theta$
• 부채꼴 넓이: $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl$

원주율 $\pi$

원주율 $\pi$는 원의 지름에 대한 둘레의 비율로, 초월수(Transcendental Number)입니다.

$\pi$의 초월성은 1882년 린데만(Lindemann)에 의해 증명되었으며, 이로써 원적 문제(자와 컴퍼스만으로 원과 같은 넓이의 정사각형을 작도하는 문제)가 불가능함이 밝혀졌습니다.

원주각과 중심각

원 위의 호 $\overset{\frown}{AB}$에 대하여:

• 원주각의 정리: 한 호에 대한 원주각은 중심각의 $\dfrac{1}{2}$입니다. $\angle APB = \dfrac{1}{2} \angle AOB$
• 원주각의 성질: 같은 호에 대한 원주각은 모두 같습니다.
• 탈레스 정리: 반원에 대한 원주각은 $90°$입니다. (지름의 양 끝을 꼭짓점으로 하는 원주각)
• 원에 내접하는 사각형: 대각의 합이 $180°$입니다. 역도 성립합니다.

접선의 성질

• 접선은 접점에서 반지름에 수직입니다.
• 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같습니다. 즉, $PA = PB$ (접선 길이의 정리).
• 접선과 현이 이루는 각: 접선과 현이 이루는 각은 그 현에 의한 호에 대한 원주각과 같습니다.

멱(Power)의 정리

원과 한 점에 대한 멱(power)은 그 점에서 원에 그은 모든 직선에 대해 일정합니다.

두 원의 위치 관계

반지름이 각각 $r$, $R$ ($r \le R$)이고 중심 사이의 거리가 $d$인 두 원의 위치 관계:

삼각함수

삼각함수(Trigonometric Functions)는 직각삼각형의 변의 비에서 출발하여 주기적인 현상을 기술하는 함수입니다. 물리학의 파동, 전자공학의 교류 회로, 음향학 등에 폭넓게 응용됩니다.

기본 정의: 직각삼각형에서의 삼각함수

삼각함수를 이해하려면 직각삼각형에서 시작하는 것이 가장 좋습니다. 직각삼각형에는 하나의 직각($90°$)과 두 개의 예각이 있습니다. 이 중 하나의 예각 $\theta$를 기준으로 세 변에 이름을 붙입니다.

• 빗변(Hypotenuse): 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변입니다.
• 대변(Opposite): 기준 각도 $\theta$의 맞은편에 있는 변입니다.
• 인접변(Adjacent): 기준 각도 $\theta$에 인접한 변입니다 (빗변은 제외).

이 세 변의 비율을 이용하여 6가지 삼각함수를 정의합니다.

기본 삼각함수 3가지

왜 "비율"이 중요합니까? 같은 각도를 가진 직각삼각형은 크기에 상관없이 모두 닮음입니다. 닮은 삼각형에서는 대응하는 변의 비율이 항상 같습니다. 따라서 삼각함수의 값은 삼각형의 크기가 아니라 오직 각도에 의해서만 결정됩니다.

역수 삼각함수 3가지

기본 삼각함수의 역수(뒤집은 값)로 3가지 삼각함수를 더 정의합니다.

예제: 직각삼각형에서 삼각함수 값 구하기

직각삼각형의 세 변이 $3$, $4$, $5$이고, 각 $\theta$의 대변이 $3$, 인접변이 $4$, 빗변이 $5$일 때 삼각함수 값을 구하겠습니다.

풀이:

이때 $\theta = \arcsin(0.6) \approx 36.87°$입니다.

라디안과 도의 관계

각도를 나타내는 방법에는 도(Degree)와 라디안(Radian) 두 가지가 있습니다.

도(Degree)는 원 한 바퀴를 $360$등분한 것입니다. 일상생활에서 가장 친숙한 단위입니다.

라디안(Radian)은 원의 반지름과 같은 길이의 호에 대한 중심각입니다. 원 한 바퀴의 호의 길이는 $2\pi r$이므로, 한 바퀴는 $2\pi$ 라디안입니다.

변환 공식

• 도에서 라디안으로: $\text{라디안} = \text{도} \times \dfrac{\pi}{180}$
• 라디안에서 도로: $\text{도} = \text{라디안} \times \dfrac{180}{\pi}$

주요 각도 변환표

예제: 라디안 변환

문제: $150°$를 라디안으로 변환하십시오.

풀이:

문제: $\dfrac{3\pi}{4}$ 라디안을 도로 변환하십시오.

풀이:

단위원에서의 삼각함수 확장

직각삼각형 정의만으로는 $0°$에서 $90°$ 사이의 예각에 대해서만 삼각함수를 정의할 수 있습니다. 단위원(Unit Circle)을 이용하면 모든 각도(음수, $90°$ 이상, $360°$ 이상 등)에 대해 삼각함수를 정의할 수 있습니다.

단위원이란 원점을 중심으로 하고 반지름이 $1$인 원, 즉 $x^2 + y^2 = 1$입니다.

단위원 위의 점 $P$는 $x$축 양의 방향에서 반시계 방향으로 각도 $\theta$만큼 회전한 위치에 있습니다. 이때:

왜 이렇게 정의합니까? 단위원의 반지름은 $1$이므로, 직각삼각형 정의에서 빗변 = $1$이 됩니다. 따라서 $\sin\theta = \frac{\text{대변}}{1} = y$좌표, $\cos\theta = \frac{\text{인접변}}{1} = x$좌표가 됩니다. 직각삼각형 정의를 자연스럽게 확장한 것입니다.

사분면에 따른 부호

단위원을 이용하면 각도가 $90°$를 넘어도 삼각함수를 정의할 수 있으며, 사분면에 따라 부호가 결정됩니다.

예제: 단위원으로 삼각함수 값 구하기

문제: $\sin 150°$와 $\cos 150°$의 값을 구하십시오.

풀이: $150° = 180° - 30°$이므로 제2사분면에 있습니다. 제2사분면에서 $\sin$은 양수, $\cos$은 음수입니다. 기준각(reference angle)은 $30°$이므로:

특수각의 삼각함수 값

다음 표의 값들은 삼각함수 문제를 풀 때 매우 자주 사용되므로 반드시 외워 두어야 합니다.

삼각함수의 그래프와 주기

삼각함수는 주기함수(Periodic Function)입니다. 즉, 일정한 간격마다 같은 값을 반복합니다. 이 성질이 파동, 진동, 소리, 빛 등 반복적인 현상을 설명하는 데 삼각함수가 적합한 이유입니다.

$y = \sin x$의 그래프

$y = \cos x$의 그래프

그래프의 특성 정리

일반형: $y = A\sin(Bx + C) + D$

사인 함수의 일반형에서 각 매개변수의 의미는 다음과 같습니다.

예제: 일반형 분석

문제: $y = 3\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$의 진폭, 주기, 위상이동, 수직이동을 구하십시오.

풀이:

• $A = 3$이므로 진폭 $= |3| = 3$
• $B = 2$이므로 주기 $= \frac{2\pi}{2} = \pi$
• $C = -\frac{\pi}{3}$이므로 위상이동 $= -\frac{-\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6}$ (오른쪽으로 $\frac{\pi}{6}$만큼 이동)
• $D = 1$이므로 수직이동 $= 1$ (위로 $1$만큼 이동)
• 최댓값 $= D + |A| = 1 + 3 = 4$, 최솟값 $= D - |A| = 1 - 3 = -2$

주요 항등식

피타고라스 항등식

단위원 위의 점 $(\cos\theta, \sin\theta)$는 $x^2 + y^2 = 1$ 위에 있으므로 자연스럽게 다음이 성립합니다.

이 식의 양변을 $\cos^2\theta$ 또는 $\sin^2\theta$으로 나누면 추가 항등식을 얻습니다.

덧셈정리 (가법정리)

덧셈정리는 두 각의 합이나 차에 대한 삼각함수 값을 각각의 삼각함수 값으로 나타내는 공식입니다.

예제: 덧셈정리 활용

문제: $\sin 75°$의 값을 구하십시오.

풀이: $75° = 45° + 30°$으로 분해합니다.

배각 공식

덧셈정리에서 $\beta = \alpha$를 대입하면 배각 공식을 얻습니다.

왜 $\cos 2\theta$에는 형태가 3가지입니까? $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용하여 $\sin^2\theta$를 $\cos^2\theta$로, 또는 그 반대로 바꿀 수 있기 때문입니다. 상황에 따라 가장 편리한 형태를 선택하면 됩니다.

예제: 배각 공식 활용

문제: $\sin\theta = \frac{3}{5}$, $\cos\theta = \frac{4}{5}$일 때, $\sin 2\theta$와 $\cos 2\theta$를 구하십시오.

풀이:

반각 공식

배각 공식 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$에서 $\theta$ 대신 $\frac{\theta}{2}$를 넣으면 반각 공식을 유도할 수 있습니다.

예제: 반각 공식 활용

문제: $\cos 15°$의 값을 반각 공식으로 구하십시오.

풀이: $15° = \frac{30°}{2}$이므로 $\theta = 30°$으로 놓습니다.

$15°$는 제1사분면이므로 $\cos 15° > 0$입니다. 따라서:

합을 곱으로 (합차 공식)

두 삼각함수의 합이나 차를 곱의 형태로 변환하는 공식입니다. 덧셈정리를 적절히 더하거나 빼서 유도합니다.

곱을 합으로 (곱을 합 공식)

두 삼각함수의 곱을 합이나 차의 형태로 변환하는 공식입니다. 적분 등에서 자주 활용됩니다.

사인 법칙과 코사인 법칙

삼각형 $ABC$에서 변 $a, b, c$가 각각 $A, B, C$의 대변이고, 외접원 반지름이 $R$일 때:

사인 법칙

언제 사용합니까? 한 변과 그 대각, 그리고 다른 한 각이나 변이 주어졌을 때 사용합니다. "각-변" 쌍이 하나 완성되면 사인 법칙이 유용합니다.

코사인 법칙

코사인 법칙은 피타고라스 정리의 일반화입니다 ($C = 90°$이면 $\cos C = 0$이므로 $c^2 = a^2 + b^2$).

언제 사용합니까? 세 변이 모두 주어졌을 때(각도를 구할 때), 또는 두 변과 끼인각이 주어졌을 때(나머지 변을 구할 때) 사용합니다.

예제: 사인 법칙 활용

문제: 삼각형 $ABC$에서 $A = 40°$, $B = 60°$, $a = 10$일 때, 변 $b$의 길이를 구하십시오.

풀이: 사인 법칙에 의해:

예제: 코사인 법칙 활용

문제: 삼각형의 세 변 $a=5$, $b=7$, $c=8$이 주어졌을 때, 가장 큰 각 $C$ (변 $c$의 대각)를 구하십시오.

풀이: 코사인 법칙에서 $\cos C$를 구합니다.

삼각함수의 실생활 응용

삼각함수는 추상적인 수학 공식에 그치지 않고 일상 곳곳에서 활용됩니다.

1. 파동과 소리

소리는 공기의 진동이며, 이 진동은 사인파(sine wave)로 표현됩니다. 순수한 소리(순음)는 다음과 같은 함수로 나타냅니다.

여기서 $A$는 소리의 크기(진폭), $f$는 소리의 높낮이(주파수, 단위: Hz)입니다. 예를 들어, 표준 음높이 "라(A)" 음은 $f = 440$ Hz로, 1초에 440번 진동합니다.

2. 건축과 측량

건물의 높이를 직접 재기 어려울 때, 건물까지의 수평 거리 $d$와 올려다보는 각도(앙각) $\alpha$를 측정하면:

예시: 건물에서 $50$m 떨어진 곳에서 올려다본 각도가 $35°$일 때, 건물의 높이는:

(단, 관측자의 눈높이를 더하여야 정확한 높이를 구할 수 있습니다.)

3. 교류 전기

가정에서 사용하는 전기(교류, AC)의 전압은 시간에 따라 사인파 형태로 변합니다.

한국의 가정용 전기는 $f = 60$ Hz, $V_0 \approx 311$ V(최대 전압)이며, 우리가 "220V"라고 부르는 것은 실효값(RMS)입니다.

4. 천문학과 항해

항해사와 천문학자는 별의 고도각을 측정하고 삼각함수를 이용하여 위치를 계산합니다. GPS가 없던 시절, 삼각측량(Triangulation)은 위치를 결정하는 핵심 방법이었습니다.

해석기하

해석기하(Analytic Geometry)는 좌표를 사용하여 기하학적 문제를 대수적으로 다루는 분야입니다. 데카르트(Descartes)와 페르마(Fermat)에 의해 17세기에 체계화되었습니다.

좌표 평면의 기본 공식

두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$에 대하여:

• 두 점 사이의 거리: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
• 중점: $M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$
• 내분점: $m:n$으로 내분하는 점 $= \left(\dfrac{mx_2 + nx_1}{m+n},\; \dfrac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$
• 외분점: $m:n$으로 외분하는 점 $= \left(\dfrac{mx_2 - nx_1}{m-n},\; \dfrac{my_2 - ny_1}{m-n}\right)$ (단, $m \neq n$)

직선의 방정식

직선의 관계

• 두 직선의 평행: $m_1 = m_2$ (기울기 동일)
• 두 직선의 수직: $m_1 \cdot m_2 = -1$
• 두 직선이 이루는 각: $\tan\theta = \left|\dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$

점과 직선의 거리

점 $(x_0, y_0)$에서 직선 $ax + by + c = 0$까지의 거리:

예제: 점 $(3, -1)$에서 직선 $4x - 3y + 2 = 0$까지의 거리는 $d = \dfrac{|4(3) - 3(-1) + 2|}{\sqrt{16+9}} = \dfrac{|12+3+2|}{5} = \dfrac{17}{5} = 3.4$입니다.

원의 방정식

중심이 $(a, b)$이고 반지름이 $r$인 원:

일반형: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$에서 중심 $\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$, 반지름 $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$ (단, $D^2 + E^2 - 4F > 0$).

이차곡선 (원뿔곡선)

이차곡선은 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 곡선들로, 초점과 준선에 대한 이심률(eccentricity) $e$로 통일적으로 정의됩니다. 초점까지의 거리와 준선까지의 거리의 비가 $e$인 점들의 자취입니다.

공간기하

공간기하(Solid Geometry)는 3차원 공간에서의 도형과 위치 관계를 다룹니다.

공간좌표

3차원 좌표계에서 두 점 $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$에 대하여:

• 거리: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
• 중점: $M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\; \dfrac{y_1+y_2}{2},\; \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$

직선과 평면

공간에서 직선과 평면의 위치 관계는 평면기하보다 복잡합니다.

직선과 직선의 관계

평면의 방정식

법선벡터가 $(a, b, c)$이고 점 $(x_0, y_0, z_0)$을 지나는 평면:

일반형: $ax + by + cz + d = 0$

점과 평면의 거리

점 $(x_0, y_0, z_0)$에서 평면 $ax + by + cz + d = 0$까지의 거리:

두 평면의 관계

• 평행: 법선벡터가 평행 ($\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$)
• 수직: 법선벡터가 수직 ($a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$)
• 이면각: 두 평면이 이루는 각 $\theta$는 $\cos\theta = \dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$

구의 방정식

중심이 $(a, b, c)$이고 반지름이 $r$인 구:

• 겉넓이: $S = 4\pi r^2$
• 부피: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

기본 벡터 연산

벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$, $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$에 대하여:

주요 입체도형

비유클리드 기하학

유클리드의 제5공준(평행선 공준)을 변경하면 새로운 정합적 기하학 체계가 생깁니다. 이를 비유클리드 기하학이라 합니다.

쌍곡 기하학 (로바체프스키 기하학)

제5공준을 "직선 밖의 한 점을 지나는 평행선이 무한히 많다"로 교체합니다.

• 삼각형의 내각의 합이 $180°$보다 작습니다.
• 내각의 합과 $180°$의 차이를 각결손(angular defect)이라 하며, 이는 삼각형의 넓이에 비례합니다.
• 닮은 삼각형은 존재하지 않습니다 (각이 같으면 합동).
• 대표 모델: 푸앵카레 원판 모델 — 단위 원판 내부를 전체 공간으로 삼고, 측지선은 원판의 지름이나 경계에 직교하는 원호입니다.
• 가우스 곡률이 음수($K < 0$)인 곡면(안장면 등)의 기하학과 대응합니다.

구면 기하학 (타원 기하학, 리만 기하학)

제5공준을 "직선 밖의 한 점을 지나는 평행선이 없다"로 교체합니다.

• 삼각형의 내각의 합이 $180°$보다 큽니다.
• 내각의 합과 $180°$의 차이를 각초과(angular excess)라 하며, 넓이에 비례합니다. 반지름 $R$인 구에서 넓이 $= R^2 \times (\text{각초과 라디안 값})$.
• 직선 개념은 대원(great circle)으로 대체됩니다. 모든 대원은 두 점에서 만나므로 평행선이 없습니다.
• 가우스 곡률이 양수($K > 0$)인 곡면(구면)의 기하학과 대응합니다.
• 항해술, 천문학, 지구과학에서 실질적으로 사용됩니다.

삼각형 문제의 다양한 풀이

하나의 기하 문제를 여러 관점에서 접근하면 개념 사이의 연결을 깊이 이해할 수 있습니다. 여기서는 대표적인 삼각형 문제를 좌표, 벡터, 복소수, 삼각함수 네 가지 방법으로 풀어 보겠습니다.

문제: 정삼각형의 무게중심까지의 거리

한 변의 길이가 $a$인 정삼각형 $ABC$의 무게중심 $G$에서 각 꼭짓점까지의 거리를 구하십시오.

풀이 1 — 좌표기하

$A = (0,\,0)$, $B = (a,\,0)$, $C = \bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{a\sqrt{3}}{2}\bigr)$으로 놓으면 무게중심은

$AG$의 거리:

풀이 2 — 벡터

위치벡터로 $\vec{g} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$이므로

$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2 \cos 60° = \tfrac{a^2}{2}$이므로

풀이 3 — 복소수

복소평면에서 $A = 0$, $B = a$, $C = a\,e^{i\pi/3} = \frac{a}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2}i$로 두면

풀이 4 — 삼각함수(중선 길이 공식)

정삼각형에서 중선의 길이 $m$은 $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$입니다. 무게중심은 중선을 꼭짓점에서 $2:1$로 내분하므로

원과 직선 — 다양한 접근

원과 직선의 관계를 기하학적, 좌표적, 극좌표적으로 비교합니다.

문제: 원 위의 점에서의 접선

원 $x^2 + y^2 = r^2$ 위의 점 $P(x_0,\,y_0)$에서의 접선의 방정식을 세 가지 방법으로 유도하십시오.

풀이 1 — 기하학적 접근

원의 접선은 접점에서 반지름에 수직입니다. 반지름 $OP$의 기울기가 $\frac{y_0}{x_0}$이므로 접선의 기울기는 $-\frac{x_0}{y_0}$입니다.

풀이 2 — 좌표기하(판별식)

직선 $y = mx + k$와 원 $x^2 + y^2 = r^2$의 교점의 개수를 판별식으로 조사합니다.

접선이면 $D = 0$: $4m^2 k^2 - 4(1+m^2)(k^2 - r^2) = 0$에서 $k^2 = r^2(1+m^2)$.

점 $P(x_0, y_0)$에서 $k = y_0 - mx_0$를 대입하고 $x_0^2 + y_0^2 = r^2$을 이용하면 같은 결과 $x_0 x + y_0 y = r^2$를 얻습니다.

풀이 3 — 극좌표

극좌표 $(r, \theta)$에서 원은 $\rho = r$(상수), 접점은 $\theta_0 = \arctan\frac{y_0}{x_0}$입니다. 접선의 극좌표 방정식은

이것은 직교좌표로 변환하면 $x\cos\theta_0 + y\sin\theta_0 = r$, 즉 $x_0 x + y_0 y = r^2$과 동일합니다.

삼각함수 심화

역삼각함수

역삼각함수(Inverse Trigonometric Functions)는 삼각함수의 역함수로, 비율로부터 각도를 구합니다.

주요 항등식:

쌍곡선 함수

쌍곡선 함수(Hyperbolic Functions)는 삼각함수와 유사하지만 단위원 대신 단위 쌍곡선 $x^2 - y^2 = 1$ 위의 점으로 정의됩니다.

삼각함수와의 대응(오스본 규칙): 삼각함수의 항등식에서 $\sin \to \sinh$, $\cos \to \cosh$으로 바꾸되, $\sin^2$ 항이 나타나면 부호를 반전합니다.

좌표기하 심화 — 이차곡선의 다양한 표현

이차곡선은 직교좌표, 극좌표, 매개변수 등 다양한 형태로 나타낼 수 있으며, 각 표현은 서로 다른 상황에서 유리합니다.

타원의 다양한 표현

쌍곡선의 다양한 표현

포물선의 광학 성질

포물선 $y^2 = 4px$의 초점 $F(p, 0)$에서 나온 빛은 포물면에서 반사된 후 축에 평행하게 진행합니다. 이 성질 때문에 위성 안테나, 자동차 전조등, 반사 망원경에 포물면이 사용됩니다.

증명: 포물선 위의 점 $P(t^2/(4p),\,t)$에서 접선의 기울기는 $\frac{dy}{dx} = \frac{2p}{y} = \frac{2p}{t}$입니다. 입사각(축 평행 광선과 법선 사이의 각)과 반사각($FP$와 법선 사이의 각)이 같음을 접선의 기울기와 $FP$의 기울기로 확인할 수 있습니다.

벡터기하

내적과 외적을 활용하면 좌표를 명시적으로 설정하지 않고도 기하 문제를 우아하게 풀 수 있습니다.

내적으로 수선의 발 구하기

점 $P$에서 직선 $AB$ 위에 내린 수선의 발 $H$를 벡터로 구하겠습니다.

따라서 $H = A + \frac{\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2}\;\overrightarrow{AB}$이고, 점 $P$에서 직선 $AB$까지의 거리는 $|PH| = \sqrt{|AP|^2 - |AH|^2}$입니다.

외적으로 넓이와 부피 구하기

• 삼각형의 넓이: $S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$
• 평행사변형의 넓이: $S = |\vec{a} \times \vec{b}|$
• 평행육면체의 부피: $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ (스칼라 삼중곱의 절댓값)
• 사면체의 부피: $V = \frac{1}{6}|\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})|$

벡터로 공선·공면 판정

• 세 점이 한 직선 위(공선): $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \vec{0}$
• 네 점이 한 평면 위(공면): $\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) = 0$

복소수 기하

복소수를 이용하면 평면 기하의 회전, 반사, 반전 등을 대수적으로 다룰 수 있습니다.

기본 연산의 기하학적 의미

뫼비우스 변환

뫼비우스 변환(Mobius Transformation)은 복소 함수

로 정의됩니다. 이 변환은 원과 직선을 원이나 직선으로 보냅니다(일반원 보존). 평행이동, 회전, 확대, 반전($z \mapsto 1/z$)의 합성으로 분해할 수 있습니다.

• 반전 $z \mapsto 1/\bar{z}$: 원점 기준 반전. 원점을 지나는 직선은 직선으로, 원점을 지나지 않는 원은 원으로 변환됩니다.
• 세 점의 상을 지정하면 뫼비우스 변환이 유일하게 결정됩니다.

복소수로 정삼각형 조건 표현하기

세 점 $z_1, z_2, z_3$이 정삼각형의 꼭짓점이 될 필요충분조건:

변환기하

기하학적 변환(Transformation)은 평면(또는 공간)의 점들을 다른 점들로 대응시키는 함수입니다. 변환의 종류에 따라 보존하는 성질이 다릅니다.

변환의 계층 구조

등거리변환의 분류

평면의 모든 등거리변환은 다음 네 가지 중 하나입니다.

1. 평행이동(Translation): $T_{\vec{v}}(P) = P + \vec{v}$. 고정점이 없습니다.
2. 회전(Rotation): $R_{O,\theta}(P)$. 중심 $O$를 고정점으로 하여 $\theta$만큼 회전합니다.
3. 반사(Reflection): $M_l(P)$. 직선 $l$에 대한 거울 대칭입니다. 직선 위의 점들이 고정됩니다.
4. 미끄럼 반사(Glide Reflection): 반사 후 반사축 방향으로 평행이동합니다. 고정점이 없습니다.

사영기하 개요

사영기하학(Projective Geometry)은 투영(projection)에 의해 불변인 성질을 연구합니다. 유클리드 기하에서 "평행선은 만나지 않는다"는 명제가 사영기하에서는 "모든 두 직선은 한 점에서 만난다"로 바뀝니다.

사영좌표 (동차좌표)

사영평면의 점은 동차좌표(Homogeneous Coordinates) $[x : y : z]$로 나타냅니다. $[x:y:z]$와 $[\lambda x : \lambda y : \lambda z]$ ($\lambda \neq 0$)은 같은 점입니다.

• 유한 점 $(a, b)$는 $[a : b : 1]$에 대응합니다.
• 무한원점(Point at Infinity): $[a : b : 0]$은 기울기 $b/a$인 직선들이 만나는 "무한원의 점"입니다.
• 모든 무한원점을 모은 것이 무한원직선(Line at Infinity) $z = 0$입니다.

쌍대성 원리

사영기하에서 "점"과 "직선"의 역할을 바꾸어도 정리가 성립합니다. 예를 들어:

교차비

직선 위의 네 점 $A, B, C, D$의 교차비(Cross-Ratio)는

교차비는 사영변환에 의해 불변입니다. 유클리드 기하에서의 "길이"가 사영기하에서는 "교차비"로 대체됩니다.

비유클리드 기하 심화

앞서 소개한 비유클리드 기하학의 핵심 수식들을 정리합니다.

쌍곡 기하의 거리 공식

푸앵카레 원판 모델에서 두 점 $z_1, z_2$ ($|z_1|, |z_2| < 1$) 사이의 쌍곡 거리:

구면 기하의 거리 공식

반지름 $R$인 구면 위에서 위도 $(\phi_1, \phi_2)$와 경도 $(\lambda_1, \lambda_2)$인 두 점 사이의 대원 거리:

세 기하학의 삼각법 비교

기하 부등식

기하학에는 도형의 성질에 대한 중요한 부등식들이 있습니다.

등주부등식 (Isoperimetric Inequality)

같은 둘레의 길이 $L$을 가진 모든 닫힌 곡선 중에서 가장 넓은 면적을 갖는 곡선은 원입니다.

등호 조건: 곡선이 원일 때. 이때 $A = \frac{L^2}{4\pi}$이고 $r = \frac{L}{2\pi}$입니다.

의미: 같은 길이의 울타리로 둘러싸는 넓이를 최대화하려면 원형으로 만들어야 합니다.

AM-GM 부등식의 기하학적 증명

양수 $a, b$에 대해 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ (산술-기하 평균 부등식)을 기하학적으로 증명합니다.

증명: 지름이 $a + b$인 반원을 그립니다. 지름 위에서 $a$와 $b$의 경계점에서 수선을 올리면 반원과 만나는 점까지의 높이 $h$가 존재합니다. 직각삼각형의 닮음에 의해 $h^2 = ab$이므로 $h = \sqrt{ab}$입니다. 반지름 $r = \frac{a+b}{2}$이고 $h \le r$이므로:

등호 조건: $a = b$일 때(수선이 반원의 꼭대기에 닿을 때).

삼각형의 기하 부등식

삼각형의 외접원 반지름 $R$, 내접원 반지름 $r$에 대하여 다음이 성립합니다.

오일러 부등식

등호 조건: 삼각형이 정삼각형일 때. 이 부등식은 "외접원은 내접원의 2배 이상 크다"는 기하학적 사실을 나타냅니다.

삼각부등식

삼각형의 세 변 $a, b, c$에 대하여:

이 조건은 세 선분이 삼각형을 이룰 수 있는 필요충분조건입니다.

프톨레마이오스 부등식

임의의 볼록 사각형 $ABCD$에서:

등호 조건: 사각형이 원에 내접할 때 (프톨레마이오스 정리).

참고자료

• 유클리드 — 원론 (Elements)
• Coxeter, H. S. M. — Introduction to Geometry, Wiley
• Hartshorne, R. — Geometry: Euclid and Beyond, Springer
• Greenberg, M. J. — Euclidean and Non-Euclidean Geometries, W. H. Freeman
• Brannan, D. A. et al. — Geometry, Cambridge University Press
• 위상수학 — 기하학의 추상적 일반화
• 선형대수학 — 벡터와 좌표 기하
• 미적분학 — 곡선의 길이, 곡면의 넓이 계산