위상수학 (Topology)

위상수학은 도형의 "연속적 변형"에 의해 보존되는 성질을 연구합니다. 늘이고 구부리되 자르거나 붙이지 않는 변환 아래 불변인 성질을 다룹니다.

이런 곳에 쓰여요

선수 지식: 집합론, 해석학

난이도: ★★★★★ (대학교 심화)

위상 공간의 정의

위상 공간(Topological Space) $(X, \mathcal{T})$은 집합 $X$와 위상(Topology) $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$의 쌍으로, $\mathcal{T}$는 다음 세 가지 조건을 만족합니다.

1. $\emptyset \in \mathcal{T}$이고 $X \in \mathcal{T}$입니다.
2. $\mathcal{T}$의 원소들의 임의의 합집합은 $\mathcal{T}$에 속합니다: $\{U_\alpha\}_{\alpha \in I} \subseteq \mathcal{T} \implies \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha \in \mathcal{T}$.
3. $\mathcal{T}$의 원소들의 유한 교집합은 $\mathcal{T}$에 속합니다: $U_1, \ldots, U_n \in \mathcal{T} \implies U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \mathcal{T}$.

$\mathcal{T}$의 원소를 열린집합(Open Set)이라 합니다.

위상의 예

기저와 부분기저

기저 (Basis)

집합 $X$ 위의 위상 $\mathcal{T}$에 대한 기저(Basis) $\mathcal{B}$는 $\mathcal{T}$의 부분집합으로, 다음을 만족합니다.

1. 모든 $x \in X$에 대하여, $x \in B$인 $B \in \mathcal{B}$가 존재합니다.
2. $x \in B_1 \cap B_2$ ($B_1, B_2 \in \mathcal{B}$)이면, $x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$인 $B_3 \in \mathcal{B}$가 존재합니다.

$\mathcal{B}$로 생성되는 위상은 $\mathcal{B}$의 원소들의 임의의 합집합 전체입니다.

기저가 위상을 결정하는 원리 — 상세 증명

정리: $\mathcal{B}$가 위의 두 조건을 만족하면, $\mathcal{T}_{\mathcal{B}} = \left\{ \bigcup_{\alpha} B_\alpha \mid B_\alpha \in \mathcal{B} \right\}$는 $X$ 위의 위상입니다.

증명:

1. $\emptyset \in \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$: 공합집합이므로 $\emptyset \in \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$입니다.
2. $X \in \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$: 조건 (1)에 의하여 모든 $x \in X$에 대하여 $x \in B_x$인 $B_x \in \mathcal{B}$가 존재합니다. 따라서 $X = \bigcup_{x \in X} B_x \in \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$입니다.
3. 합집합에 대한 닫힘: $\{U_\alpha\}_{\alpha \in I} \subseteq \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$이면, 각 $U_\alpha = \bigcup_\beta B_{\alpha,\beta}$이므로 $\bigcup_\alpha U_\alpha = \bigcup_{\alpha,\beta} B_{\alpha,\beta} \in \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$입니다.
4. 유한 교집합에 대한 닫힘: $U_1, U_2 \in \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$이고 $x \in U_1 \cap U_2$이면, $x \in B_1 \subseteq U_1$, $x \in B_2 \subseteq U_2$인 $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$가 존재합니다. 조건 (2)에 의하여 $x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2 \subseteq U_1 \cap U_2$인 $B_3 \in \mathcal{B}$가 존재합니다. $x$가 임의이므로 $U_1 \cap U_2 = \bigcup_{x \in U_1 \cap U_2} B_{3,x} \in \mathcal{T}_{\mathcal{B}}$입니다. 귀납법으로 유한 교집합으로 확장됩니다. $\square$

두 기저가 같은 위상을 생성하는 조건

정리 (기저 비교 보조정리): $\mathcal{B}_1$과 $\mathcal{B}_2$가 $X$ 위의 기저일 때, $\mathcal{T}_{\mathcal{B}_1} \subseteq \mathcal{T}_{\mathcal{B}_2}$일 필요충분조건은 다음과 같습니다:

모든 $B_1 \in \mathcal{B}_1$과 $x \in B_1$에 대하여, $x \in B_2 \subseteq B_1$인 $B_2 \in \mathcal{B}_2$가 존재합니다.

부분기저 (Subbasis)

집합 $X$의 부분집합들의 모임 $\mathcal{S}$가 $X$를 덮으면 ($\bigcup \mathcal{S} = X$), $\mathcal{S}$를 부분기저(Subbasis)라 합니다. 부분기저로부터 위상을 생성하는 과정은 다음과 같습니다.

1. $\mathcal{S}$의 원소들의 유한 교집합 전체를 $\mathcal{B}$라 하면, $\mathcal{B}$는 기저가 됩니다.
2. $\mathcal{B}$가 생성하는 위상이 $\mathcal{S}$가 생성하는 위상입니다.

열린집합과 닫힌집합

닫힌집합

열린집합의 여집합을 닫힌집합(Closed Set)이라 합니다.

• $\emptyset$과 $X$는 열린집합이면서 동시에 닫힌집합입니다.
• 닫힌집합의 임의의 교집합은 닫힌집합입니다.
• 닫힌집합의 유한 합집합은 닫힌집합입니다.

관련 개념

폐포의 동치 조건

다음은 모두 동치입니다:

• $x \in \overline{A}$
• $x$를 포함하는 모든 열린집합이 $A$와 만납니다.
• $A$의 원소로 이루어진 그물(net)이 $x$로 수렴합니다.

위상의 구성

부분공간 위상 (Subspace Topology)

위상 공간 $(X, \mathcal{T})$와 부분집합 $A \subseteq X$에 대하여, 부분공간 위상은 다음과 같이 정의됩니다.

즉, $A$에서의 열린집합은 $X$에서의 열린집합과 $A$의 교집합입니다.

곱위상 (Product Topology)

위상 공간 $\{(X_\alpha, \mathcal{T}_\alpha)\}_{\alpha \in I}$의 곱집합 $\prod_{\alpha \in I} X_\alpha$ 위에 정의되는 위상입니다.

• 부분기저: $\pi_\alpha^{-1}(U_\alpha)$ (사영 $\pi_\alpha$에 의한 열린집합의 역상) 전체가 부분기저입니다.
• 기저: 유한 개의 $\alpha$를 제외하고 모두 $X_\alpha$인 집합 $\prod_{\alpha} U_\alpha$ ($U_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha$, 유한 개만 $U_\alpha \neq X_\alpha$).

곱위상의 보편 성질

곱위상은 다음 보편 성질로 특징지어집니다: 함수 $f: Z \to \prod_\alpha X_\alpha$가 연속일 필요충분조건은 각 사영 $\pi_\alpha \circ f: Z \to X_\alpha$가 모두 연속인 것입니다.

증명: ($\Rightarrow$) $f$가 연속이고 $\pi_\alpha$가 연속이므로 합성 $\pi_\alpha \circ f$도 연속입니다. ($\Leftarrow$) 곱위상의 부분기저 원소는 $\pi_\alpha^{-1}(U_\alpha)$ 형태입니다. $f^{-1}(\pi_\alpha^{-1}(U_\alpha)) = (\pi_\alpha \circ f)^{-1}(U_\alpha)$이고, $\pi_\alpha \circ f$가 연속이므로 이것은 열린집합입니다. 부분기저 원소의 역상이 열린집합이면 $f$는 연속입니다. $\square$

상자 위상에서 곱위상이 아닌 예

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^\omega$를 $f(t) = (t, t, t, \ldots)$로 정의합니다. 곱위상에서 $f$는 연속입니다 (각 사영이 항등함수). 그러나 상자 위상에서 $U = \prod_{n=1}^\infty (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})$는 열린집합이고, $f^{-1}(U) = \{0\}$인데 이것은 열린집합이 아닙니다. 따라서 상자 위상에서 $f$는 불연속입니다.

몫위상 (Quotient Topology)

위상 공간 $(X, \mathcal{T})$와 전사 함수 $q: X \to Y$에 대하여, 몫위상은 다음과 같이 정의됩니다.

즉, $V$가 $Y$에서 열린집합일 필요충분조건은 $q^{-1}(V)$가 $X$에서 열린집합인 것입니다.

몫사상의 성질

정리: 몫사상 $q: X \to Y$에 대하여, $g: Y \to Z$가 연속일 필요충분조건은 $g \circ q: X \to Z$가 연속인 것입니다.

증명: ($\Rightarrow$) 연속 함수의 합성은 연속입니다. ($\Leftarrow$) $W \subseteq Z$가 열린집합이면, $q^{-1}(g^{-1}(W)) = (g \circ q)^{-1}(W)$이 $X$에서 열린집합입니다. 몫위상의 정의에 의하여 $g^{-1}(W)$는 $Y$에서 열린집합입니다. $\square$

대표적 예시:

연속 함수

위상 공간 사이의 함수 $f: X \to Y$가 연속(Continuous)이면, $Y$의 모든 열린집합의 역상이 $X$에서 열린집합입니다.

연속 함수의 동치 조건 — 4가지 관점의 상세 증명

$f: X \to Y$에 대하여 다음은 모두 동치입니다:

1. (O) $f$가 연속이다 (모든 열린집합의 역상이 열린집합).
2. (C) $Y$의 모든 닫힌집합의 역상이 $X$에서 닫힌집합이다.
3. (Cl) 모든 $A \subseteq X$에 대하여 $f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$이다.
4. (B) $\mathcal{T}_Y$의 기저(또는 부분기저) 원소의 역상이 $X$에서 열린집합이다.

위상동형 (Homeomorphism)

연속인 전단사 함수이면서 역함수도 연속인 함수를 위상동형사상(Homeomorphism)이라 합니다. 두 공간 사이에 위상동형사상이 존재하면 위상적으로 같은 공간입니다.

예: 커피 머그컵과 도넛(토러스)은 위상동형입니다 (둘 다 구멍이 하나).

매장 (Embedding)

$f: X \to Y$가 위상적 매장(Topological Embedding)이란, $f$가 $X$에서 $f(X)$로의 위상동형사상인 것입니다. 즉 $f$는 단사이고, $f: X \to f(X)$가 위상동형입니다.

분리 공리

분리 공리는 위상 공간에서 점과 점, 점과 집합, 집합과 집합을 열린집합으로 얼마나 잘 "분리"할 수 있는지를 계층적으로 분류합니다.

포함 관계: $T_4 \implies T_{3\frac{1}{2}} \implies T_3 \implies T_2 \implies T_1 \implies T_0$

우리존 보조정리 — 증명

우리존 보조정리 (Urysohn's Lemma): $X$가 정규 공간이고 $A, B$가 서로소인 닫힌집합이면, $f(A) = \{0\}$, $f(B) = \{1\}$인 연속 함수 $f: X \to [0,1]$이 존재합니다.

증명 (핵심 구성):

1. 열린집합의 반복 삽입: 정규성으로부터, $A \subseteq U$, $U \subseteq X \setminus B$인 열린집합 $U$를 잡을 수 있습니다. 이 과정을 이진유리수 $r \in [0,1] \cap \mathbb{Q}_2$에 대하여 반복합니다.
2. $U_1 = X \setminus B$, $A \subseteq U_0$이고 $\overline{U_0} \subseteq U_1$인 $U_0$를 정규성으로 얻습니다.
3. $\overline{U_0} \subseteq U_{1/2} \subseteq \overline{U_{1/2}} \subseteq U_1$인 $U_{1/2}$를 다시 정규성으로 얻습니다.
4. 이 과정을 재귀적으로 반복하면, 모든 이진유리수 $r$에 대하여 $r < s \implies \overline{U_r} \subseteq U_s$인 열린집합 모임 $\{U_r\}$을 얻습니다.
5. 함수 정의: $f(x) = \inf\{r \mid x \in U_r\}$로 정의합니다 ($x \notin \bigcup U_r$이면 $f(x) = 1$).
6. 연속성 확인: $f^{-1}([0,a)) = \bigcup_{r < a} U_r$ (열린집합), $f^{-1}((a,1]) = \bigcup_{r > a} (X \setminus \overline{U_r})$ (열린집합)이므로, 부분기저의 역상이 열린집합이고 $f$는 연속입니다. $\square$

티체 확장 정리 — 증명 개요

티체 확장 정리 (Tietze Extension Theorem): $X$가 정규 공간이고 $A \subseteq X$가 닫힌집합이면, 연속 함수 $g: A \to [-1, 1]$을 $G: X \to [-1, 1]$로 연속 확장할 수 있습니다 ($G|_A = g$).

증명 개요 (반복 근사법):

1. $A_1 = g^{-1}([-1, -\frac{1}{3}])$, $B_1 = g^{-1}([\frac{1}{3}, 1])$로 놓으면, 이들은 $A$에서 닫힌집합이고 $A$가 $X$에서 닫혀있으므로 $X$에서도 닫힌집합입니다.
2. 우리존 보조정리에 의하여 $g_1: X \to [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$, $g_1(A_1) = -\frac{1}{3}$, $g_1(B_1) = \frac{1}{3}$인 연속 함수가 존재합니다.
3. $|g(x) - g_1(x)| \leq \frac{2}{3}$ ($x \in A$)입니다. $g - g_1$에 대하여 같은 과정을 반복합니다.
4. $n$번 반복하면 $\|g - \sum_{k=1}^n g_k\|_A \leq \left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$이고, $G = \sum_{k=1}^\infty g_k$는 $X$ 전체에서 연속이며 $G|_A = g$입니다. $\square$

분리 공리 예시

콤팩트성

위상 공간 $X$의 모든 열린 덮개(Open Cover)가 유한 부분 덮개(Finite Subcover)를 가지면 $X$를 콤팩트(Compact)하다고 합니다.

하이네-보렐 정리 — 세 가지 관점의 증명

하이네-보렐 정리: $\mathbb{R}^n$의 부분집합 $K$가 콤팩트일 필요충분조건은 $K$가 닫혀있고 유계인 것입니다.

예: $[0, 1]$은 콤팩트, $(0, 1)$은 콤팩트가 아닙니다, $\mathbb{R}$은 콤팩트가 아닙니다.

관점 1: 열린 덮개에 의한 증명 ($[a,b]$의 경우)

증명 ($[a,b]$가 콤팩트): $\{U_\alpha\}$가 $[a,b]$의 열린 덮개라 합시다.

$S = \{x \in [a,b] \mid [a,x]$가 $\{U_\alpha\}$의 유한 부분 덮개를 가짐$\}$으로 정의합니다.

1. $a \in U_{\alpha_0}$인 $\alpha_0$가 존재하므로 $a \in S$이고 $S \neq \emptyset$입니다.
2. $S$는 위로 유계이므로 $s = \sup S$가 존재하고 $s \leq b$입니다.
3. $s \in U_{\beta}$인 $\beta$가 존재합니다. $U_\beta$는 열린집합이므로 $(s - \varepsilon, s + \varepsilon) \subseteq U_\beta$인 $\varepsilon > 0$이 존재합니다.
4. $s = \sup S$이므로 $s - \varepsilon < x_0 \leq s$인 $x_0 \in S$가 존재합니다. $[a, x_0]$는 유한 부분 덮개 $\{U_{\alpha_1}, \ldots, U_{\alpha_k}\}$를 가지므로, $[a, s] \subseteq [a, x_0] \cup U_\beta$는 유한 부분 덮개 $\{U_{\alpha_1}, \ldots, U_{\alpha_k}, U_\beta\}$를 가집니다.
5. $s < b$이면 $\min(s + \varepsilon, b) \in S$가 되어 $s = \sup S$에 모순입니다. 따라서 $s = b$이고, $[a,b]$는 유한 부분 덮개를 가집니다. $\square$

관점 2: 볼차노-바이어슈트라스에 의한 증명

정리: $\mathbb{R}^n$의 유계 닫힌집합 $K$의 모든 수열은 $K$에 수렴하는 부분수열을 가집니다 (순차 콤팩트).

증명: $(x_n) \subseteq K$가 수열이라 합시다. $K$가 유계이므로 모든 $x_n$은 유계입니다. 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여 수렴하는 부분수열 $(x_{n_k})$가 존재하고, $x_{n_k} \to x^*$입니다. $K$가 닫혀있으므로 $x^* \in K$입니다. 거리 공간에서 순차 콤팩트와 콤팩트가 동치이므로, $K$는 콤팩트입니다. $\square$

관점 3: 유한교차성질 (FIP)에 의한 증명

정리: 위상 공간 $X$가 콤팩트일 필요충분조건은 다음입니다: 닫힌집합의 모임 $\{F_\alpha\}$가 유한교차성질(임의의 유한 부분모임의 교집합이 비어있지 않음)을 가지면 $\bigcap_\alpha F_\alpha \neq \emptyset$입니다.

증명 (동치): 드 모르간 법칙에 의한 대우 논법입니다.

• $\bigcap_\alpha F_\alpha = \emptyset$이면 $\bigcup_\alpha (X \setminus F_\alpha) = X$, 즉 $\{X \setminus F_\alpha\}$는 열린 덮개입니다.
• 유한 부분 덮개가 존재하면 $X = (X \setminus F_{\alpha_1}) \cup \cdots \cup (X \setminus F_{\alpha_n})$이므로 $F_{\alpha_1} \cap \cdots \cap F_{\alpha_n} = \emptyset$입니다.
• 따라서 "모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가짐" $\Leftrightarrow$ "FIP를 만족하는 닫힌집합 모임은 공통 교집합을 가짐"입니다. $\square$

콤팩트 공간의 성질

• 콤팩트 공간에서 연속 함수의 상은 콤팩트입니다.
• 콤팩트 공간에서 연속인 실수값 함수는 최댓값과 최솟값을 가집니다 (극값 정리).
• 콤팩트 하우스도르프 공간에서 연속인 전단사 함수는 위상동형사상입니다.
• 콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간($T_4$)입니다.
• 콤팩트 부분집합은 하우스도르프 공간에서 닫힌집합입니다.

콤팩트성의 변종

티호노프 정리 — 증명 (알렉산더 부분기저 보조정리 이용)

티호노프 정리(Tychonoff's Theorem): 콤팩트 공간들의 (임의의) 곱공간은 곱위상에 대하여 콤팩트입니다.

알렉산더 부분기저 보조정리: $\mathcal{S}$가 $X$의 부분기저이면, $X$가 콤팩트일 필요충분조건은 $\mathcal{S}$의 원소들로만 이루어진 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가지는 것입니다.

증명 (티호노프 정리, FIP 관점):

1. ($\Rightarrow$) 각 $X_\alpha$가 콤팩트임을 보입니다. 사영 $\pi_\alpha$는 연속인 전사 함수이므로, $\pi_\alpha(\prod X_\alpha) = X_\alpha$는 콤팩트 공간의 연속 상이고, 따라서 콤팩트입니다.
2. ($\Leftarrow$) 부분기저 $\mathcal{S} = \{\pi_\alpha^{-1}(U_\alpha) \mid U_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha\}$로 이루어진 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가짐을 보입니다. $\mathcal{S}$의 원소로 이루어진 덮개에서 유한 부분 덮개를 추출할 수 없다고 가정하면, 초른 보조정리(선택 공리)를 사용하여 모순을 유도합니다.
3. 구체적으로, 각 $\alpha$에 대하여 $\{\pi_\alpha^{-1}(U_\alpha)\}$ 중 그 $\alpha$에 해당하는 것만으로는 전체를 덮지 못하는 $\alpha$가 존재함을 보이고, 각 $X_\alpha$의 콤팩트성과 결합하여 모순을 얻습니다. $\square$

이 정리는 선택 공리와 동치이며, 현대 수학에서 매우 중요합니다.

콤팩트화

콤팩트하지 않은 공간을 콤팩트한 공간에 매장하는 방법입니다.

한 점 콤팩트화 (One-Point Compactification)

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 한 점 $\infty$를 추가하여 $X^* = X \cup \{\infty\}$를 만듭니다.

• $X^*$의 열린집합: $X$의 열린집합 또는 $X \setminus K$ ($K$: $X$의 콤팩트 부분집합) 형태의 $\infty$를 포함하는 집합.
• 예: $\mathbb{R}^n$의 한 점 콤팩트화는 $S^n$입니다. 특히 $\mathbb{R}$의 한 점 콤팩트화는 원 $S^1$, $\mathbb{R}^2$의 한 점 콤팩트화는 구 $S^2$입니다.

스톤-체흐 콤팩트화 (Stone-Čech Compactification)

완전 정칙($T_{3\frac{1}{2}}$) 공간 $X$의 최대 콤팩트화 $\beta X$입니다.

• $X$에서 $[0,1]$로의 모든 연속 함수가 $\beta X$로 연속 확장됩니다.
• 보편 성질(Universal Property): $X$에서 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$로의 연속 함수 $f$는 $\beta X \to K$로 유일하게 확장됩니다.

연결성

위상 공간 $X$가 비어 있지 않은 두 열린집합의 서로소인 합집합으로 나눌 수 없으면 연결(Connected)이라 합니다.

동치 조건: 다음은 모두 동치입니다.

• $X$가 연결이다.
• $X$에서 열리고 닫힌 집합(clopen set)은 $\emptyset$과 $X$뿐이다.
• 모든 연속 함수 $f: X \to \{0, 1\}$ (이산 위상)이 상수 함수이다.

경로 연결

$X$의 임의의 두 점 $a$, $b$에 대하여 연속 함수 $\gamma: [0, 1] \to X$, $\gamma(0) = a$, $\gamma(1) = b$가 존재하면 경로 연결(Path Connected)이라 합니다.

경로 연결이면 연결이지만, 역은 일반적으로 성립하지 않습니다.

반례: 위상수학자의 사인곡선

위상수학자의 사인곡선(Topologist's Sine Curve)은 연결이지만 경로 연결이 아닌 대표적 예시입니다.

• $\{(x, \sin(1/x)) \mid 0 < x \leq 1\}$ 부분은 경로 연결이고, 그 폐포가 $S$ 전체이므로 $S$는 연결입니다.
• 그러나 $(0,0)$과 $(1, \sin 1)$을 잇는 연속 경로는 존재하지 않습니다. $x \to 0^+$에서 $\sin(1/x)$가 무한히 진동하기 때문입니다.

중간값 정리의 위상적 해석

연결 공간에서 연속인 실수값 함수의 상은 $\mathbb{R}$의 구간입니다. 이것이 중간값 정리의 위상적 일반화입니다.

경로 연결이면 연결 — 증명

정리: $X$가 경로 연결이면 $X$는 연결입니다.

증명: 대우를 보입니다. $X = U \cup V$ ($U, V$는 서로소인 비어있지 않은 열린집합)라 합시다. $a \in U$, $b \in V$를 잡고, $\gamma: [0,1] \to X$가 $\gamma(0) = a$, $\gamma(1) = b$인 경로라 합시다. $\gamma^{-1}(U)$와 $\gamma^{-1}(V)$는 $[0,1]$에서 서로소인 비어있지 않은 열린집합이고 합집합이 $[0,1]$입니다. 이것은 $[0,1]$의 연결성에 모순입니다. 따라서 경로 연결이면 공간을 분리할 수 없고, $X$는 연결입니다. $\square$

국소 연결과 국소 경로 연결

공간 $X$가 국소 연결(Locally Connected)이란, 각 점의 모든 열린 근방 안에 연결인 열린 근방이 존재하는 것입니다.

공간 $X$가 국소 경로 연결(Locally Path Connected)이란, 각 점의 모든 열린 근방 안에 경로 연결인 열린 근방이 존재하는 것입니다.

연결 성분과 경로 연결 성분

각 점을 포함하는 최대 연결 부분집합을 연결 성분(Connected Component)이라 합니다. 연결 성분들은 공간을 분할합니다.

• 연결 성분은 항상 닫힌집합입니다.
• 연결 성분이 항상 열린집합이 되는 것은 아닙니다 (예: $\mathbb{Q}$의 연결 성분은 한원소 집합).
• 전연결이 아닌(Totally Disconnected) 공간: 모든 연결 성분이 한원소 집합인 공간 (예: $\mathbb{Q}$, 칸토어 집합).

경로 연결 성분(Path Component)은 각 점을 포함하는 최대 경로 연결 부분집합입니다. 경로 연결 성분은 연결 성분에 포함되지만, 일반적으로 닫힌집합이 아닐 수 있습니다.

연결성의 보존

정리: 연결 공간의 연속 상(image)은 연결입니다.

증명: $f: X \to Y$가 연속이고 전사이며 $X$가 연결이라 합시다. $Y = U \cup V$ ($U, V$: 서로소, 열린, 비어있지 않음)이면, $X = f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)$입니다. $f$가 연속이므로 $f^{-1}(U)$, $f^{-1}(V)$는 열린집합이고, 서로소이며, $f$가 전사이므로 비어있지 않습니다. 이것은 $X$의 연결성에 모순입니다. $\square$

거리공간

정의

집합 $X$와 함수 $d: X \times X \to [0, \infty)$가 다음을 만족하면 $(X, d)$를 거리공간(Metric Space)이라 합니다.

1. 양의 정치성: $d(x,y) = 0 \iff x = y$
2. 대칭성: $d(x,y) = d(y,x)$
3. 삼각부등식: $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$

거리공간의 열린 공(open ball) $B(x, r) = \{y \in X \mid d(x,y) < r\}$ 전체가 위상의 기저가 됩니다.

거리의 예시

거리화 가능성

위상 공간 $(X, \mathcal{T})$에 대하여, $\mathcal{T}$를 유도하는 거리 $d$가 존재하면 거리화 가능(Metrizable)이라 합니다.

완비 거리공간

모든 코시 수열이 수렴하는 거리공간을 완비 거리공간(Complete Metric Space)이라 합니다.

코시 수열: 모든 $\varepsilon > 0$에 대하여 $N$이 존재하여 $m, n \geq N \implies d(x_m, x_n) < \varepsilon$.

바나흐 고정점 정리 (축소 사상 원리) — 상세 증명

완비 거리공간 $(X, d)$에서 축소 사상 $f: X \to X$ (즉, $d(f(x), f(y)) \leq c \cdot d(x,y)$, $0 \leq c < 1$)은 유일한 고정점을 가집니다.

증명:

1. 수열 구성: 임의의 $x_0 \in X$를 잡고 $x_{n+1} = f(x_n)$으로 정의합니다.
2. 코시 수열: $d(x_{n+1}, x_n) \leq c^n \cdot d(x_1, x_0)$입니다. $m > n$이면: $$d(x_m, x_n) \leq \sum_{k=n}^{m-1} d(x_{k+1}, x_k) \leq d(x_1, x_0) \sum_{k=n}^{m-1} c^k \leq \frac{c^n}{1-c} d(x_1, x_0) \to 0$$ 따라서 $(x_n)$은 코시 수열입니다.
3. 수렴: $X$가 완비이므로 $x_n \to x^*$인 $x^* \in X$가 존재합니다.
4. 고정점: $f$가 연속(립시츠 조건에 의하여)이므로 $f(x^*) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim x_{n+1} = x^*$입니다.
5. 유일성: $f(y^*) = y^*$이면 $d(x^*, y^*) = d(f(x^*), f(y^*)) \leq c \cdot d(x^*, y^*)$이고, $0 \leq c < 1$이므로 $d(x^*, y^*) = 0$, 즉 $x^* = y^*$입니다. $\square$

베르 범주 정리

베르 범주 정리 (Baire Category Theorem): 완비 거리공간(또는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간)은 베르 공간입니다. 즉, 가산 개의 조밀한 열린집합의 교집합은 조밀합니다.

증명 (완비 거리공간):

1. $U$가 비어있지 않은 열린집합이라 합시다. $\bigcap_{n=1}^\infty G_n \cap U \neq \emptyset$임을 보이겠습니다.
2. $G_1$이 조밀하므로 $G_1 \cap U \neq \emptyset$입니다. $\overline{B(x_1, r_1)} \subseteq G_1 \cap U$, $0 < r_1 < 1$인 공을 잡습니다.
3. $G_2$가 조밀하므로 $G_2 \cap B(x_1, r_1) \neq \emptyset$입니다. $\overline{B(x_2, r_2)} \subseteq G_2 \cap B(x_1, r_1)$, $0 < r_2 < \frac{1}{2}$인 공을 잡습니다.
4. 귀납적으로, $\overline{B(x_n, r_n)} \subseteq G_n \cap B(x_{n-1}, r_{n-1})$, $0 < r_n < \frac{1}{n}$인 공을 구성합니다.
5. $(x_n)$은 코시 수열입니다 ($m > n$이면 $d(x_m, x_n) < r_n < \frac{1}{n}$). 완비성에 의하여 $x_n \to x^*$입니다.
6. $x^* \in \overline{B(x_n, r_n)} \subseteq G_n$ (모든 $n$)이고 $x^* \in U$이므로, $x^* \in \bigcap G_n \cap U$입니다. $\square$

기본군 (Fundamental Group)

대수적 위상수학(Algebraic Topology)은 위상 공간에 대수적 불변량(군, 환, 모듈 등)을 대응시켜 위상적 성질을 연구합니다. 가장 기본적인 불변량이 기본군입니다.

루프와 호모토피

• 루프(Loop): 기점 $x_0 \in X$에서 출발하여 $x_0$로 돌아오는 연속 경로 $\gamma: [0,1] \to X$, $\gamma(0) = \gamma(1) = x_0$.
• 경로 호모토피(Path Homotopy): 두 루프 $\gamma_0, \gamma_1$이 끝점을 고정한 채 연속적으로 변형될 수 있으면 호모토피적(homotopic)이라 합니다: $$H: [0,1] \times [0,1] \to X, \quad H(s,0) = \gamma_0(s), \; H(s,1) = \gamma_1(s), \; H(0,t) = H(1,t) = x_0$$
• 호모토피 동치류: $[\gamma]$는 $\gamma$와 호모토피적인 모든 루프의 동치류입니다.

기본군의 정의

기점 $x_0$에서의 기본군 $\pi_1(X, x_0)$은 루프의 호모토피 동치류 집합에 경로의 연결(concatenation)을 연산으로 부여한 군입니다.

• 연산: $[\gamma] \cdot [\delta] = [\gamma * \delta]$ (먼저 $\gamma$를 따라간 뒤 $\delta$를 따라감)
• 항등원: $[c_{x_0}]$ (상수 루프)
• 역원: $[\gamma]^{-1} = [\bar{\gamma}]$ ($\bar{\gamma}(t) = \gamma(1-t)$, 역방향)

기본군의 예시

$\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$의 증명 (개요)

핵심 도구는 피복 공간(Covering Space)입니다.

1. 지수 사상 $p: \mathbb{R} \to S^1$, $p(t) = e^{2\pi i t}$은 피복 사상입니다.
2. $S^1$의 기점 $1$에서의 루프 $\gamma$를 $\mathbb{R}$로 "들어올리면"(lift), $0$에서 출발하여 정수 $n$에서 끝나는 경로 $\tilde{\gamma}$를 얻습니다.
3. 이 정수 $n$을 감는 수(winding number)라 하며, 호모토피 동치류를 완전히 결정합니다.
4. 따라서 $\pi_1(S^1, 1) \cong \mathbb{Z}$이고, 동형사상은 $[\gamma] \mapsto n$입니다.

기본군 계산 도구

자이페르트-판 캄펜 정리 (Seifert-van Kampen Theorem)

$X = U_1 \cup U_2$이고, $U_1$, $U_2$, $U_1 \cap U_2$가 경로 연결인 열린집합이면:

이것은 $\pi_1(U_1)$과 $\pi_1(U_2)$의 아말감 자유곱(amalgamated free product)입니다.

계산 예제 1: $\pi_1(S^1 \vee S^1) = F_2$

8자 모양 $S^1 \vee S^1$에서 두 원이 만나는 점의 작은 근방 주위로 $U_1$, $U_2$를 잡으면:

• $U_1 \simeq S^1$, $U_2 \simeq S^1$ (각각 한 원을 포함하는 부분).
• $U_1 \cap U_2$는 교차점 주위의 십자 모양으로, 수축 가능합니다 ($\pi_1 = \{e\}$).
• 자이페르트-판 캄펜에 의하여 $\pi_1(S^1 \vee S^1) = \mathbb{Z} * \mathbb{Z} = F_2$ (rank 2 자유군).

계산 예제 2: $\pi_1(T^2) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

방법 1 (피복 공간): $p: \mathbb{R}^2 \to T^2$, $p(x,y) = (e^{2\pi ix}, e^{2\pi iy})$는 보편 피복 사상입니다. $\pi_1(T^2) \cong \text{Deck}(\mathbb{R}^2 / T^2) \cong \mathbb{Z}^2$입니다.

방법 2 (자이페르트-판 캄펜): $T^2$를 CW 복합체로 보면, 1-셀 $a$, $b$와 2-셀 하나로 구성됩니다. 부착 사상이 $aba^{-1}b^{-1}$이므로 $\pi_1(T^2) = \langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} = 1 \rangle = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$입니다.

계산 예제 3: $\pi_1(\mathbb{R}P^2) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

이중 피복 $p: S^2 \to \mathbb{R}P^2$ ($p(x) = p(-x)$)를 이용합니다. $S^2$는 단순 연결이므로 보편 피복입니다. 갈루아 군(deck transformation group)은 대척점 사상 $x \mapsto -x$로 생성되는 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$입니다. 따라서 $\pi_1(\mathbb{R}P^2) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$입니다.

호모토피 동치

두 공간 $X$, $Y$가 호모토피 동치(Homotopy Equivalent)란, 연속 함수 $f: X \to Y$와 $g: Y \to X$가 존재하여 $g \circ f \simeq \text{id}_X$이고 $f \circ g \simeq \text{id}_Y$인 것입니다. 이 경우 $X \simeq Y$로 씁니다.

수축 가능(Contractible): 한 점과 호모토피 동치인 공간을 수축 가능하다고 합니다. $\mathbb{R}^n$, $D^n$, 별 모양 영역(star-shaped domain) 등이 수축 가능합니다.

오일러 지표 (Euler Characteristic)

다면체의 오일러 공식

볼록 다면체에 대하여:

여기서 $V$는 꼭짓점 수, $E$는 모서리 수, $F$는 면의 수입니다.

일반화: 위상적 불변량

오일러 지표는 위상적 불변량입니다. CW 복합체(CW complex) $X$에 대하여:

여기서 $c_k$는 $k$차원 셀의 개수입니다. 호몰로지를 이용하면:

여기서 $H_k(X)$는 $k$차 호몰로지 군이고, $\text{rank}\, H_k$는 $k$차 베티 수(Betti number) $b_k$입니다.

곡면의 오일러 지표

흥미로운 위상적 대상

곡면의 분류 정리

컴팩트(경계 없는) 연결 2차원 다양체(곡면)는 완전히 분류할 수 있습니다. 이것은 위상수학의 대표적 성과입니다.

방향가능 곡면

방향가능(Orientable) 곡면은 종수(Genus) $g$에 의해 완전히 결정됩니다.

• $g = 0$: 구 $S^2$
• $g = 1$: 토러스 $T^2$ (도넛)
• $g = 2$: 이중 토러스 (구멍 2개)
• 일반적으로: $\Sigma_g \cong T^2 \# T^2 \# \cdots \# T^2$ ($g$번 연결합)

방향불가능 곡면

방향불가능(Non-orientable) 곡면은 교차모자 수(Crosscap Number) $k$에 의해 분류됩니다.

• $k = 1$: 실사영평면 $\mathbb{R}P^2$
• $k = 2$: 클라인 병 $\cong \mathbb{R}P^2 \# \mathbb{R}P^2$
• 일반적으로: $\mathbb{R}P^2 \# \cdots \# \mathbb{R}P^2$ ($k$번 연결합)

분류 정리 (Classification Theorem)

경계가 없는 컴팩트 연결 곡면은 다음 중 하나와 위상동형입니다:

1. 구 $S^2$
2. $g$-겹 토러스 $\Sigma_g$ ($g \geq 1$)
3. $k$-겹 교차모자 곡면 ($k \geq 1$)

이 세 유형은 오일러 지표와 방향가능성으로 구분됩니다.

주요 정리 모음

위상적 성질의 보존

위상적 성질(Topological Property)이란 위상동형사상에 의해 보존되는 성질입니다. 어떤 성질이 어떤 연산(부분공간, 곱, 몫, 연속 상 등)에 의해 보존되는지를 아는 것은 위상수학에서 핵심적입니다.

보존 관계 요약표

핵심 보존 정리와 증명

콤팩트성의 보존: 연속 상

정리: $f: X \to Y$가 연속이고 $X$가 콤팩트이면 $f(X)$는 콤팩트입니다.

증명: $\{V_\alpha\}$가 $f(X)$의 열린 덮개라 합시다. $\{f^{-1}(V_\alpha)\}$는 $X$의 열린 덮개입니다. $X$가 콤팩트이므로 유한 부분 덮개 $\{f^{-1}(V_{\alpha_1}), \ldots, f^{-1}(V_{\alpha_n})\}$이 존재합니다. 따라서 $\{V_{\alpha_1}, \ldots, V_{\alpha_n}\}$이 $f(X)$의 유한 부분 덮개입니다. $\square$

하우스도르프 공간에서 콤팩트 부분집합은 닫힌집합

증명: $K \subseteq X$가 콤팩트이고 $X$가 하우스도르프라 합시다. $x \notin K$이면, 각 $y \in K$에 대하여 $x \in U_y$, $y \in V_y$, $U_y \cap V_y = \emptyset$인 열린집합이 존재합니다. $\{V_y\}_{y \in K}$가 $K$의 열린 덮개이므로, 유한 부분 덮개 $V_{y_1}, \ldots, V_{y_n}$이 존재합니다. $U = U_{y_1} \cap \cdots \cap U_{y_n}$은 $x$의 열린 근방이고 $U \cap K = \emptyset$입니다. 따라서 $X \setminus K$는 열린집합, 즉 $K$는 닫힌집합입니다. $\square$

따름정리: 콤팩트 하우스도르프에서의 연속 전단사

정리: $f: X \to Y$가 연속인 전단사이고, $X$가 콤팩트, $Y$가 하우스도르프이면, $f$는 위상동형사상입니다.

증명: $f^{-1}$이 연속임을 보이면 됩니다. 즉 $f$가 닫힌 사상임을 보입니다. $C \subseteq X$가 닫힌집합이면, $X$가 콤팩트이므로 $C$도 콤팩트입니다. $f$가 연속이므로 $f(C)$는 콤팩트입니다. $Y$가 하우스도르프이므로 $f(C)$는 닫힌집합입니다. $\square$

위상적 불변량 비교를 통한 비동형 증명

두 공간이 위상동형이 아님을 증명할 때, 위상적 불변량을 이용합니다. 불변량의 값이 다르면 두 공간은 위상동형이 아닙니다.

참고자료

• Munkres, J. R. — Topology, Pearson
• Willard, S. — General Topology, Dover
• Armstrong, M. A. — Basic Topology, Springer
• Hatcher, A. — Algebraic Topology, Cambridge (무료 온라인 제공)
• Massey, W. S. — A Basic Course in Algebraic Topology, Springer
• 해석학 — 위상적 개념의 해석학적 기원
• 기하학 — 기하학의 위상적 관점
• 집합론 — 위상수학의 집합론적 기초
• 추상대수학 — 기본군과 군론