도형과 측정 (Shapes and Measurement)
우리 주변은 도형으로 가득합니다. 교실 바닥의 직사각형 타일, 피자의 원, 지붕의 삼각형, 주사위의 정육면체까지 모두 도형입니다. 도형의 성질을 이해하면 넓이, 둘레, 부피를 구할 수 있고, 이것은 일상생활과 과학, 공학 어디에서나 쓰입니다.
이런 곳에 쓰여요
- 인테리어: 방 넓이를 구해서 벽지, 바닥재를 얼마나 사야 하는지 계산
- 포장: 선물 상자를 포장하려면 겉넓이를 알아야 포장지 크기를 정할 수 있음
- 건축: 건물, 다리, 가구를 설계할 때 삼각형의 안정성과 원의 성질을 활용
- 내비게이션: 두 지점 사이의 직선거리를 피타고라스 정리로 계산
점, 선, 면
기하학의 가장 기본이 되는 것은 점, 선, 면입니다.
면
면(Surface)은 길이와 너비를 가지지만 두께가 없는 것입니다. 책상 위, 칠판의 표면, 종이 한 장의 앞면 등을 상상해 보십시오. 면 위에서 점과 선이 존재합니다. 우리가 기하학에서 도형을 그리는 공간이 바로 면(평면)입니다.
점
점(Point)은 위치만 있고 크기가 없는 것입니다. 종이 위에 연필로 찍은 자국을 아주 작게 줄여 나가면, 결국 크기가 0인 위치만 남습니다. 그것이 점입니다. 보통 대문자 $A$, $B$, $C$ 등으로 이름을 붙입니다.
선분, 반직선, 직선
| 이름 | 설명 | 기호 |
|---|---|---|
| 선분 | 두 점 $A$, $B$를 잇는 가장 짧은 경로. 양쪽 끝이 있습니다. | $\overline{AB}$ |
| 반직선 | 한 점 $A$에서 시작하여 점 $B$ 쪽으로 끝없이 뻗어 나갑니다. | $\overrightarrow{AB}$ |
| 직선 | 양쪽으로 끝없이 뻗어 나갑니다. 두 점을 지나는 직선은 하나뿐입니다. | $\overleftrightarrow{AB}$ |
두 직선의 관계
- 평행 — 두 직선이 아무리 늘려도 만나지 않습니다. 기호: $\ell_1 \parallel \ell_2$
- 수직 — 두 직선이 만나서 이루는 각이 90도입니다. 기호: $\ell_1 \perp \ell_2$
- 만남(교차) — 두 직선이 한 점에서 만납니다.
각도
각(Angle)이란 한 점(꼭짓점)에서 두 반직선이 벌어진 정도를 말합니다. 각의 크기는 도(°) 단위로 잽니다. 문을 여는 것을 상상해 보십시오. 문이 닫혀 있을 때는 $0°$이고, 살짝 열면 예각, 반쯤 열면 직각($90°$), 더 열면 둔각, 완전히 펼치면 평각($180°$)이 됩니다.
각의 종류
| 이름 | 범위 | 설명 |
|---|---|---|
| 예각 | $0° < \theta < 90°$ | 90도보다 작은 각. 피자 한 조각의 뾰족한 끝 부분이 예각입니다. |
| 직각 | $\theta = 90°$ | 정확히 90도. 기호 ∟로 표시합니다. 책의 모서리, 교실 벽과 바닥이 만나는 각이 직각입니다. |
| 둔각 | $90° < \theta < 180°$ | 90도보다 크고 180도보다 작은 각. 활짝 펼친 부채의 각도입니다. |
| 평각 | $\theta = 180°$ | 일직선이 됩니다. 자를 쭉 펴놓은 모양입니다. |
맞꼭지각
두 직선이 한 점에서 만나면 4개의 각이 생깁니다. 이때 서로 마주 보는 각을 맞꼭지각이라 하며, 맞꼭지각의 크기는 항상 같습니다.
마주 보는 $a$끼리, $b$끼리 크기가 같습니다.
평행선에서의 각
두 평행선을 한 직선(횡단선)이 지나면 여러 쌍의 각이 생깁니다.
- 동위각 — 같은 위치에 있는 각. 평행선이면 크기가 같습니다.
- 엇각(엇갈린 각) — 횡단선 양쪽에서 엇갈린 위치의 각. 평행선이면 크기가 같습니다.
삼각형
삼각형은 세 선분으로 둘러싸인 도형입니다. 가장 기본적이면서도 중요한 도형입니다.
변의 길이에 따른 분류
| 종류 | 조건 | 특징 |
|---|---|---|
| 정삼각형 | 세 변의 길이가 모두 같다 | 세 각이 모두 $60°$ |
| 이등변삼각형 | 두 변의 길이가 같다 | 같은 변의 맞은편 각이 같다 |
| 부등변삼각형 | 세 변의 길이가 모두 다르다 | 세 각의 크기도 모두 다르다 |
각의 크기에 따른 분류
| 종류 | 조건 |
|---|---|
| 예각삼각형 | 세 각이 모두 예각($< 90°$) |
| 직각삼각형 | 한 각이 직각($= 90°$) |
| 둔각삼각형 | 한 각이 둔각($> 90°$) |
내각의 합 = 180도
삼각형의 세 내각을 모두 더하면 반드시 $180°$입니다.
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$왜 180도인가? — 증명
삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$를 지나면서 밑변 $BC$에 평행한 직선을 그어봅시다.
- 이 평행선과 변 $AB$가 만드는 엇각은 $\angle B$와 같습니다. (평행선의 엇각 성질)
- 이 평행선과 변 $AC$가 만드는 엇각은 $\angle C$와 같습니다. (같은 이유)
- 꼭짓점 $A$ 위쪽의 평행선을 보면, $\angle B + \angle A + \angle C$가 일직선 위에 나란히 놓여 있습니다.
- 일직선은 $180°$이므로, $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$입니다.
이것이 삼각형의 내각의 합이 항상 $180°$인 이유입니다!
삼각형의 합동 조건
두 삼각형이 모양과 크기가 완전히 같을 때 합동이라 합니다.
삼각형의 합동을 판별하려면 6개 요소(변 3개, 각 3개)를 모두 비교할 필요는 없습니다. 아래 4가지 중 하나만 확인하면 됩니다. 가장 직관적인 것부터 살펴봅시다.
| 조건 | 이름 | 설명 | 직관적 이해 |
|---|---|---|---|
| SSS | 세 변 | 세 변의 길이가 각각 같으면 합동 | 세 변의 길이가 모두 같으면 삼각형의 모양이 완전히 결정됨 |
| SAS | 두 변과 끼인각 | 두 변의 길이와 그 사이 각이 같으면 합동 | 두 변과 그 끼인각이 같으면 나머지 한 변도 자동으로 결정됨 |
| ASA | 두 각과 끼인변 | 두 각의 크기와 그 사이 변의 길이가 같으면 합동 | 한 변과 양 끝 각이 같으면 나머지 요소가 모두 결정됨 |
| AAS | 두 각과 대응변 | 두 각과 한 변이 각각 같으면 합동 (내각의 합이 $180°$이므로 ASA와 같은 결과) | 한 변과 두 각이 같으면 세 번째 각도 자동 결정, ASA와 같은 원리 |
피타고라스 정리
직각삼각형에서 빗변(가장 긴 변, 직각의 맞은편)의 길이를 $c$, 나머지 두 변을 $a$, $b$라 하면:
$$a^2 + b^2 = c^2$$이것은 수학에서 가장 유명한 공식 중 하나입니다. "직각삼각형의 두 짧은 변 위의 정사각형 넓이를 합하면, 빗변 위의 정사각형 넓이와 같다"라는 뜻입니다.
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
피타고라스 정리 예시
| $a$ | $b$ | $c$ (빗변) | 검산 |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | $9 + 16 = 25$ ✓ |
| 5 | 12 | 13 | $25 + 144 = 169$ ✓ |
| 8 | 15 | 17 | $64 + 225 = 289$ ✓ |
삼각형의 넓이
$$S = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$$밑변은 삼각형의 아무 변이나 고를 수 있고, 높이는 그 밑변에서 맞은편 꼭짓점까지 수직으로 잰 거리입니다.
왜 $\frac{1}{2}$이 붙을까요? — 공식 유도
밑변이 $b$이고 높이가 $h$인 직사각형을 상상해 보십시오. 이 직사각형의 넓이는 $b \times h$입니다. 이제 이 직사각형의 대각선을 그으면, 직사각형이 두 개의 같은 삼각형으로 나뉩니다. 따라서 삼각형 하나의 넓이는 직사각형의 절반인 $\frac{1}{2} \times b \times h$가 되는 것입니다.
사각형
사각형은 네 선분으로 둘러싸인 도형입니다. 종류가 다양하고, 서로 포함 관계가 있습니다.
사각형의 종류
| 이름 | 정의 | 특징 |
|---|---|---|
| 사다리꼴 | 한 쌍의 대변이 평행 | 가장 넓은 범주 |
| 평행사변형 | 두 쌍의 대변이 각각 평행 | 대변의 길이 같음, 대각 같음 |
| 직사각형 | 네 각이 모두 직각인 평행사변형 | 대각선의 길이 같음 |
| 마름모 | 네 변의 길이가 모두 같은 평행사변형 | 대각선이 서로 수직 |
| 정사각형 | 네 변의 길이가 같고 네 각이 직각 | 직사각형이면서 마름모 |
포함 관계
정사각형은 직사각형의 특별한 경우이고, 직사각형은 평행사변형의 특별한 경우입니다.
$$\text{정사각형} \subset \text{직사각형} \subset \text{평행사변형} \subset \text{사다리꼴}$$ $$\text{정사각형} \subset \text{마름모} \subset \text{평행사변형}$$사각형의 넓이 공식
| 도형 | 넓이 공식 | 변수 설명 |
|---|---|---|
| 직사각형 | $S = a \times b$ | $a$: 가로, $b$: 세로 |
| 정사각형 | $S = a^2$ | $a$: 한 변의 길이 |
| 평행사변형 | $S = b \times h$ | $b$: 밑변, $h$: 높이 |
| 마름모 | $S = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$ | $d_1$, $d_2$: 두 대각선 |
| 사다리꼴 | $S = \dfrac{(a + b) \times h}{2}$ | $a$, $b$: 평행한 두 변, $h$: 높이 |
원
원(Circle)은 한 점(중심)에서 같은 거리에 있는 모든 점의 모임입니다.
원의 구성 요소
- 중심(O) — 원의 한가운데 점
- 반지름($r$) — 중심에서 원 위의 점까지의 거리
- 지름($d$) — 원을 가로지르는 가장 긴 선분. $d = 2r$
- 호 — 원 위의 두 점 사이 곡선 부분
- 현 — 원 위의 두 점을 잇는 선분
원주율 $\pi$란 무엇인가?
동그란 물체(접시, 동전, 바퀴 등)를 하나 가져와서 둘레를 실로 감아 재어 보고, 지름도 재어 보십시오. 그 다음 둘레 $\div$ 지름을 계산해 보면, 어떤 원이든 항상 약 $3.14$가 나옵니다. 이 신비한 비율을 원주율 $\pi$(파이)라고 합니다.
$$\pi = \frac{\text{원의 둘레}}{\text{지름}} \approx 3.14159265\ldots$$$\pi$는 끝없이 이어지는 소수이며, 분수로 정확히 나타낼 수 없는 무리수입니다. 크기가 다른 모든 원에서 이 비율이 똑같다는 것이 놀랍지 않습니까?
원의 둘레와 넓이
$$\text{원주(둘레)}: \quad C = 2\pi r = \pi d$$ $$\text{넓이}: \quad S = \pi r^2$$왜 넓이가 $\pi r^2$일까요? — 직관적 이해
원을 피자처럼 아주 많은 조각으로 잘라서, 번갈아 뒤집으며 일렬로 이어 붙여 보십시오. 조각 수가 많아질수록 이 모양은 직사각형에 가까워집니다.
- 이 직사각형의 가로는 원 둘레의 절반 = $\pi r$
- 이 직사각형의 세로는 원의 반지름 = $r$
- 따라서 넓이 = 가로 $\times$ 세로 = $\pi r \times r = \pi r^2$
이것이 원의 넓이가 $\pi r^2$인 이유입니다!
부채꼴
부채꼴은 원에서 두 반지름과 호로 둘러싸인 부분입니다. 중심각이 $\theta°$일 때:
$$\text{호의 길이}: \quad l = 2\pi r \times \frac{\theta}{360}$$ $$\text{부채꼴 넓이}: \quad S = \pi r^2 \times \frac{\theta}{360} = \frac{1}{2} r l$$넓이와 부피 공식 정리
평면 도형의 넓이
| 도형 | 넓이 공식 |
|---|---|
| 삼각형 | $S = \dfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| 직사각형 | $S = a \times b$ |
| 평행사변형 | $S = b \times h$ |
| 사다리꼴 | $S = \dfrac{(a + b) \times h}{2}$ |
| 마름모 | $S = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$ |
| 원 | $S = \pi r^2$ |
입체 도형의 부피와 겉넓이
입체 도형은 우리 주변에 가득합니다. 상자는 직육면체, 음료수 캔은 원기둥, 아이스크림 콘은 원뿔, 축구공은 구입니다. 부피는 입체 도형이 차지하는 공간의 크기이고, 겉넓이는 입체 도형의 표면을 모두 펼쳤을 때의 넓이입니다.
| 도형 | 부피 | 겉넓이 |
|---|---|---|
| 직육면체 | $V = a \times b \times c$ | $A = 2(ab + bc + ca)$ |
| 정육면체 | $V = a^3$ | $A = 6a^2$ |
| 원기둥 | $V = \pi r^2 h$ | $A = 2\pi r(r + h)$ |
| 삼각뿔 | $V = \dfrac{1}{3} \times \text{밑넓이} \times h$ | 밑넓이 + 옆면 넓이의 합 |
| 원뿔 | $V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$ | $A = \pi r(r + l)$ ($l$: 모선) |
| 구 | $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$ | $A = 4\pi r^2$ |
왜 뿔의 부피는 기둥의 $\frac{1}{3}$일까요?
같은 밑면과 높이를 가진 원기둥에 물을 가득 채운 뒤, 원뿔에 물을 부어 봅시다. 원뿔에 물을 가득 채워서 원기둥에 부으면, 정확히 3번 부어야 원기둥이 가득 찹니다. 이 실험을 통해 원뿔의 부피가 원기둥의 $\frac{1}{3}$임을 확인할 수 있습니다. 삼각뿔도 마찬가지입니다.
합동과 닮음
두 도형을 비교할 때, "모양과 크기가 완전히 같은가?" 또는 "모양은 같지만 크기가 다른가?"를 판별하는 개념이 합동과 닮음입니다.
합동
두 도형의 모양과 크기가 완전히 같을 때 합동이라고 합니다. 한 도형을 밀거나(평행이동), 돌리거나(회전), 뒤집어서(대칭) 다른 도형과 정확히 겹치면 합동입니다.
실생활 비유: 같은 틀로 찍어낸 쿠키 두 개는 합동입니다. 크기도 모양도 완전히 같습니다.
닮음
두 도형의 모양은 같지만 크기가 다를 때 닮음이라고 합니다. 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하면 다른 도형이 됩니다.
실생활 비유: 사진을 확대 인쇄해도 사진 속 사물의 모양은 변하지 않고 크기만 달라집니다. 이것이 닮음입니다. 또한 세계 지도와 실제 세계는 닮음 관계입니다.
닮음비
닮은 두 도형에서 대응하는 변의 길이의 비를 닮음비라고 합니다.
- 닮음비가 $2:1$이면, 큰 도형의 변이 작은 도형의 2배입니다.
- 넓이의 비는 닮음비의 제곱입니다: $2:1 \to 4:1$
- 부피의 비는 닮음비의 세제곱입니다: $2:1 \to 8:1$
합동 = 모양 같음 + 크기 같음 (닮음비가 $1:1$인 특별한 경우)
닮음 = 모양 같음 + 크기는 다를 수 있음
좌표 평면 기초
좌표 평면은 수평선(x축)과 수직선(y축)이 원점 $O(0,0)$에서 만나는 평면입니다. 평면 위의 모든 점은 순서쌍 $(x, y)$로 나타냅니다.
사분면
두 축이 평면을 네 구역으로 나눕니다.
| 사분면 | $x$의 부호 | $y$의 부호 | 위치 |
|---|---|---|---|
| 제1사분면 | $+$ | $+$ | 오른쪽 위 |
| 제2사분면 | $-$ | $+$ | 왼쪽 위 |
| 제3사분면 | $-$ | $-$ | 왼쪽 아래 |
| 제4사분면 | $+$ | $-$ | 오른쪽 아래 |
두 점 사이의 거리
좌표 평면 위의 두 점 $A(x_1, y_1)$과 $B(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 피타고라스 정리를 이용하여 구합니다.
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$예시: $A(1, 2)$와 $B(4, 6)$ 사이의 거리는:
$$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$중점
두 점 $A(x_1, y_1)$과 $B(x_2, y_2)$의 중점(선분의 한가운데 점)은:
$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$예시: $A(2, 4)$와 $B(6, 10)$의 중점은 $M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+10}{2}\right) = (4, 7)$입니다.
다음 단계
도형과 측정의 기초를 익혔다면, 다음 주제로 나아갈 수 있습니다.