수와 연산 (Numbers and Arithmetic)

수학의 모든 것은 "수"에서 시작합니다. 우리가 매일 사용하는 돈 계산, 시간 확인, 요리 재료 계량까지 전부 수와 연산이 기본입니다. 여기서는 자연수부터 유리수까지, 그리고 사칙연산의 원리와 순서를 하나하나 아주 쉽게 풀어보겠습니다. 수학을 처음 접하는 분도 걱정하지 마십시오!

이런 곳에 쓰입니다

  • 장보기: 마트에서 3개에 2,000원인 과자를 5개 사면 얼마인지 계산할 때
  • 요리: 레시피가 4인분인데 6인분을 만들려면 재료를 얼마나 늘려야 하는지 비례 계산
  • 용돈 관리: 한 달 용돈에서 교통비, 간식비를 빼고 남는 금액 계산
  • 게임: RPG 게임에서 공격력 120에 버프 1.5배를 받으면 최종 데미지 계산

난이도: ★☆☆☆☆ (가장 기초적인 내용입니다)

수와 연산은 수학의 가장 첫 번째 단계입니다. 마치 글을 쓰기 위해 글자를 배우는 것처럼, 수학을 하기 위해서는 수를 다루는 법을 먼저 알아야 합니다. 이 페이지에서 배우는 내용은 앞으로 방정식, 함수, 도형 등 모든 수학 분야의 기초가 됩니다.

자연수와 셈

자연수(Natural Number)는 우리가 물건을 셀 때 사용하는 가장 기본적인 수입니다.

$$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, \ldots$$
0은 자연수인가요? 나라와 교과서에 따라 다릅니다. 한국 교과서에서는 보통 자연수를 1부터 시작하는 것으로 봅니다. 하지만 유럽이나 일부 수학자들은 0도 자연수에 포함시킵니다. 이 페이지에서는 한국 교과서 관례를 따라 자연수는 1부터 시작하겠습니다.

더하기 (덧셈)

더하기는 두 수를 합치는 연산입니다. 사탕 3개와 사탕 5개를 합치면 사탕 8개가 됩니다.

$$3 + 5 = 8$$

더하기에서 더하는 수의 순서를 바꿔도 결과는 같습니다. 이것을 교환법칙이라고 합니다.

$$3 + 5 = 5 + 3 = 8$$

빼기 (뺄셈)

빼기는 어떤 수에서 일부를 덜어내는 연산입니다. 사탕 8개에서 3개를 친구에게 주면 5개가 남습니다.

$$8 - 3 = 5$$

주의: 자연수에서는 큰 수에서 작은 수를 빼야 합니다. $3 - 8$은 자연수 범위에서는 답이 없습니다. (이 문제를 해결하기 위해 나중에 정수를 배웁니다!)

곱하기 (곱셈)

곱하기는 같은 수를 반복해서 더하는 것을 줄여서 쓴 것입니다.

$$3 \times 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$$

즉, "3을 4번 더한다"는 뜻입니다. 마찬가지로:

$$5 \times 3 = 5 + 5 + 5 = 15$$

나누기 (나눗셈)

나누기는 똑같이 나누는 것입니다. 사탕 12개를 4명에게 똑같이 나눠주면 한 명당 3개를 받습니다.

$$12 \div 4 = 3$$

나누어 떨어지지 않을 때는 나머지가 생깁니다. 사탕 13개를 4명에게 나누면:

$$13 \div 4 = 3 \cdots \text{나머지 } 1$$

한 명당 3개씩 주고 1개가 남습니다.

연산의 기본 법칙

순서를 바꿔도 결과가 같아요! $3 \times 4 = 4 \times 3 = 12$ — 이것이 교환법칙입니다.
법칙덧셈곱셈
교환법칙
(순서를 바꿔도 같다)		 $a + b = b + a$
예: $2 + 7 = 7 + 2 = 9$		 $a \times b = b \times a$
예: $3 \times 5 = 5 \times 3 = 15$
결합법칙
(묶는 순서를 바꿔도 같다)		 $(a + b) + c = a + (b + c)$
예: $(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$		 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
예: $(2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 24$
분배법칙
(곱셈을 덧셈에 분배)		 $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
예: $3 \times (4 + 5) = 3 \times 4 + 3 \times 5 = 12 + 15 = 27$

분배법칙 활용 예시: $7 \times 98$을 암산하고 싶다면?

$$7 \times 98 = 7 \times (100 - 2) = 700 - 14 = 686$$

이렇게 분배법칙을 활용하면 복잡한 계산도 쉽게 할 수 있습니다!

정수

정수(Integer)는 자연수에 0과 음수를 합친 것입니다.

$$\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$$

음수가 왜 필요한가?

일상에서 "부족함"이나 "반대 방향"을 나타내려면 음수가 꼭 필요합니다.

수직선

정수를 한눈에 이해하는 가장 좋은 방법은 수직선(수선)입니다. 0을 중심으로 오른쪽은 양수, 왼쪽은 음수입니다.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 음수 양수

정수의 덧셈과 뺄셈

같은 부호끼리 더하기: 절댓값을 더하고 공통 부호를 붙입니다.

$$(-3) + (-5) = -(3 + 5) = -8$$

빚이 3000원 있는데 5000원을 또 빌리면 빚이 8000원이 되는 것과 같습니다.

다른 부호끼리 더하기: 절댓값이 큰 쪽에서 작은 쪽을 빼고, 큰 쪽의 부호를 붙입니다.

$$(-3) + 5 = +(5 - 3) = 2$$ $$(-7) + 4 = -(7 - 4) = -3$$

빚이 3000원 있는데 5000원을 벌면 2000원이 남는 것과 같습니다.

뺄셈은 반대 부호를 더하는 것과 같습니다:

$$5 - 3 = 5 + (-3) = 2$$ $$3 - 7 = 3 + (-7) = -4$$ $$(-2) - (-6) = (-2) + 6 = 4$$

정수의 곱셈과 나눗셈 부호 규칙

경우규칙예시
(양수) $\times$ (양수)= 양수$3 \times 4 = 12$
(음수) $\times$ (양수)= 음수$(-3) \times 4 = -12$
(양수) $\times$ (음수)= 음수$3 \times (-4) = -12$
(음수) $\times$ (음수)= 양수$(-3) \times (-4) = 12$
쉽게 기억하기: 같은 부호끼리 곱하면 양수(+), 다른 부호끼리 곱하면 음수(-). 나눗셈도 똑같은 규칙입니다!

더 많은 예시:

$$(-4) \times (-2) = 8$$ $$(-10) \div 5 = -2$$ $$(-15) \div (-3) = 5$$ $$6 \times (-7) = -42$$

절댓값

절댓값(Absolute Value) $|a|$는 수직선에서 0까지의 거리입니다. 방향은 무시하고 거리만 생각합니다.

$$|5| = 5, \quad |-5| = 5, \quad |0| = 0$$

절댓값은 수직선에서 0까지의 거리를 뜻합니다. 거리는 항상 0 이상이므로, 양수든 음수든 절댓값을 씌우면 항상 0 이상의 값이 나옵니다.

절댓값은 항상 0 이상입니다. 즉, 모든 수 $a$에 대해 $|a| \geq 0$입니다.

절댓값의 성질:

분수와 소수

분수가 왜 필요한가?

피자 한 판을 4명이 똑같이 나눠 먹으려면 한 명당 얼마만큼 먹을까요? "1개"는 너무 많고 "0개"는 너무 적습니다. 이때 필요한 것이 바로 분수입니다.

$$\text{한 명의 몫} = \frac{1}{4} \text{ (4분의 1)}$$

케이크를 3등분해서 2조각을 가져가면 $\frac{2}{3}$을 가져간 것입니다.

분수의 뜻

분수 $\frac{a}{b}$에서:

$$\frac{a}{b} = a \div b$$

즉, 분수는 나눗셈을 나타내는 또 다른 방법입니다.

주의! 분모 $b$는 절대 0이 될 수 없습니다. $\frac{a}{0}$은 정의되지 않습니다. 무언가를 0등분 한다는 것은 의미가 없기 때문입니다.

분수의 종류

종류뜻예시
진분수분자 < 분모 (1보다 작은 수)$\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{10}$
가분수분자 $\geq$ 분모 (1 이상인 수)$\frac{5}{3}$, $\frac{7}{4}$, $\frac{9}{9}$
대분수자연수와 진분수의 합$1\frac{2}{3}$, $2\frac{1}{4}$

가분수와 대분수는 서로 바꿀 수 있습니다:

$$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \quad \text{(7 나누기 3 = 몫 2, 나머지 1)}$$

분수의 덧셈과 뺄셈

분수를 더하거나 빼려면 분모를 같게(통분) 만들어야 합니다.

예시 1: 분모가 같은 경우

$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}$$

예시 2: 분모가 다른 경우 — 단계별로 풀기

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$$

1단계: 분모의 최소공배수를 구합니다. 3과 4의 최소공배수 = 12

2단계: 각 분수를 통분합니다.

$$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$$

3단계: 분자끼리 더합니다.

$$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

예시 3: 뺄셈도 같은 방식입니다.

$$\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

분수의 곱셈

분수의 곱셈은 간단합니다. 분자끼리, 분모끼리 곱하면 됩니다.

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

예시:

$$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$$ $$\frac{3}{7} \times \frac{14}{9} = \frac{3 \times 14}{7 \times 9} = \frac{42}{63} = \frac{2}{3}$$

(마지막에 분자와 분모를 21로 나누어 약분했습니다.)

분수의 나눗셈

분수의 나눗셈은 나누는 수를 뒤집어서(역수를 취해서) 곱하는 것입니다.

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

역수란 분자와 분모를 바꾼 것입니다. $\frac{3}{4}$의 역수는 $\frac{4}{3}$입니다.

예시:

$$\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$ $$3 \div \frac{1}{2} = 3 \times \frac{2}{1} = 6$$

마지막 예시의 의미: 케이크 3개를 반 조각씩 나누면 6조각이 됩니다.

소수 (Decimal)

소수는 분수를 다른 방식으로 나타낸 것입니다. 점(.) 오른쪽에 숫자를 써서 1보다 작은 부분을 표현합니다.

$$\frac{1}{2} = 0.5, \quad \frac{1}{4} = 0.25, \quad \frac{3}{4} = 0.75$$ $$\frac{1}{5} = 0.2, \quad \frac{7}{10} = 0.7, \quad \frac{1}{8} = 0.125$$

어떤 분수는 나누기를 해도 끝나지 않고 같은 패턴이 반복됩니다. 이것을 순환소수라고 합니다.

$$\frac{1}{3} = 0.333\ldots = 0.\overline{3}$$ $$\frac{1}{6} = 0.1666\ldots = 0.1\overline{6}$$ $$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$$

$0.\overline{3}$에서 줄은 "3이 끝없이 반복된다"는 뜻입니다.

유한소수 vs 순환소수: 분모를 소인수분해했을 때 2와 5만 있으면 유한소수가 됩니다. 그 외의 소인수가 있으면 순환소수가 됩니다. 예를 들어 $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 0.125$ (유한소수), $\frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3}$은 3이 있으므로 순환소수입니다.

유리수

유리수(Rational Number)란 두 정수 $a$, $b$ ($b \neq 0$)를 사용해서 $\frac{a}{b}$ 꼴로 나타낼 수 있는 수를 말합니다.

유리수에는 다음이 모두 포함됩니다:

수직선 위에서 정수와 정수 사이에도 무한히 많은 유리수가 존재합니다. 예를 들어 0과 1 사이에만 해도 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, ... 끝없이 많은 유리수가 있습니다.

무리수 맛보기: 분수로 나타낼 수 없는 수도 있습니다. 예를 들어 $\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$은 끝없이 이어지면서 반복되는 패턴도 없습니다. 이런 수를 무리수라고 합니다. 유리수와 무리수를 합치면 실수가 됩니다. 더 자세한 내용은 수 체계 페이지를 참고하십시오.

연산의 순서

수학에서는 계산하는 순서가 정해져 있습니다. 이 순서를 지키지 않으면 답이 달라집니다!

연산 순서 규칙:

  1. 괄호 — 괄호 안을 가장 먼저 계산합니다.
  2. 거듭제곱 — 지수를 그 다음에 계산합니다.
  3. 곱셈과 나눗셈 — 왼쪽에서 오른쪽으로 차례로 계산합니다.
  4. 덧셈과 뺄셈 — 마지막으로 왼쪽에서 오른쪽으로 계산합니다.
흔한 실수! $2 + 3 \times 4$를 왼쪽부터 계산해서 $20$이라고 하면 틀립니다. 곱셈을 먼저 해야 합니다!

예시 1:

$$2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14 \quad \text{(곱셈 먼저!)}$$

예시 2:

$$(2 + 3) \times 4 = 5 \times 4 = 20 \quad \text{(괄호 먼저!)}$$

예시 3: 여러 단계가 섞인 경우

$$3 + 2^2 \times (1 + 4)$$

1단계: 괄호 — $1 + 4 = 5$

$$3 + 2^2 \times 5$$

2단계: 거듭제곱 — $2^2 = 4$

$$3 + 4 \times 5$$

3단계: 곱셈 — $4 \times 5 = 20$

$$3 + 20 = 23$$

예시 4:

$$10 - 2 \times 3 + 8 \div 4$$

1단계: 곱셈과 나눗셈 (왼쪽부터) — $2 \times 3 = 6$, $8 \div 4 = 2$

$$10 - 6 + 2$$

2단계: 덧셈과 뺄셈 (왼쪽부터) — $10 - 6 = 4$, $4 + 2 = 6$

$$= 6$$

예시 5: 괄호가 중첩된 경우

$$\{2 + [3 \times (4 - 1)]\} \times 2$$

안쪽 괄호부터 계산합니다:

1단계: $(4 - 1) = 3$

2단계: $3 \times 3 = 9$

3단계: $2 + 9 = 11$

4단계: $11 \times 2 = 22$

거듭제곱

거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱하는 것을 짧게 나타낸 것입니다.

$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{번}}$$

여기서 $a$를 밑, $n$을 지수라고 합니다.

기본 예시

$$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$$ $$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$$ $$10^2 = 10 \times 10 = 100$$ $$10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$$ $$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$$

특별한 경우

지수가 1인 경우:

$$a^1 = a$$

어떤 수든 1번 곱하면 그 자체입니다.

지수가 0인 경우:

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

왜 그럴까요? 규칙을 보면 알 수 있습니다:

$$2^3 = 8, \quad 2^2 = 4, \quad 2^1 = 2, \quad 2^0 = ?$$

지수가 1 줄어들 때마다 결과가 2로 나누어집니다. ($8 \to 4 \to 2$) 그러므로 다음은 $2 \div 2 = 1$, 즉 $2^0 = 1$입니다.

기억하십시오: 0이 아닌 어떤 수의 0제곱은 항상 1입니다. $5^0 = 1$, $100^0 = 1$, $(-3)^0 = 1$.

지수 법칙

거듭제곱에는 편리한 계산 법칙이 있습니다.

법칙공식예시
밑이 같은 곱셈 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$
밑이 같은 나눗셈 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ $3^5 \div 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27$
거듭제곱의 거듭제곱 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
곱의 거듭제곱 $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ $(2 \times 3)^3 = 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$

제곱근

제곱근(Square Root) $\sqrt{a}$는 "제곱해서 $a$가 되는 양의 수"입니다.

$$x^2 = a \text{일 때, } x = \sqrt{a} \quad (x \geq 0)$$

예시:

$$\sqrt{4} = 2 \quad \text{(왜냐하면 } 2^2 = 4\text{)}$$ $$\sqrt{9} = 3 \quad \text{(왜냐하면 } 3^2 = 9\text{)}$$ $$\sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{25} = 5, \quad \sqrt{100} = 10$$

$\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$처럼 딱 떨어지지 않는 경우도 많습니다. 이런 수가 바로 앞에서 언급한 무리수입니다.

참고: $\sqrt{a}$는 $a^{\frac{1}{2}}$로 쓸 수도 있습니다. 마찬가지로 세제곱근 $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$입니다.

비율 (Ratio and Proportion)

두 양을 비교할 때 "몇 배인가?" 또는 "전체에서 얼마만큼인가?"를 나타내는 것이 비율입니다. 비율은 요리, 지도, 할인 계산, 속도 등 일상 곳곳에서 사용됩니다.

비율이 쓰이는 곳:
  • 요리: 레시피가 4인분인데 6인분을 만들려면 재료를 얼마나 늘려야 하는지
  • 지도: 축척 1:50000이면 지도의 1cm가 실제 몇 km인지
  • 쇼핑: 30% 할인이면 원래 가격에서 얼마를 빼야 하는지
  • 여행: 시속 80km로 달리면 3시간 후에 얼마나 갔는지
  • 과학: 소금물의 농도가 5%이면 소금이 얼마나 들어 있는지

비 (Ratio)

비(Ratio)란 두 양의 크기를 비교하는 방법입니다. "A 대 B"를 기호로 $A : B$라고 씁니다.

예시: 교실에 남학생이 12명, 여학생이 8명 있다면

$$\text{남학생} : \text{여학생} = 12 : 8$$

이것이 무슨 뜻일까요? "남학생 수는 여학생 수의 $\frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$배"라는 뜻입니다. 즉, 여학생 2명당 남학생 3명이 있습니다.

비의 핵심 성질: 비의 양쪽에 같은 수를 곱하거나 나누어도 비의 값은 변하지 않습니다. 이것은 분수의 약분·통분과 같은 원리입니다.

$$12 : 8 = 6 : 4 = 3 : 2$$

양쪽을 2로 나누면 $6:4$, 다시 2로 나누면 $3:2$가 됩니다. 이 세 가지는 모두 같은 비입니다. $3:2$처럼 더 이상 약분할 수 없는 형태를 가장 간단한 정수의 비라고 합니다.

"3:2는 무엇을 의미하는가?" $3:2$는 "전체를 $3+2=5$등분하여 한쪽이 3몫, 다른 쪽이 2몫을 가진다"는 뜻입니다. 예를 들어 5000원을 $3:2$로 나누면, 한 몫은 $5000 \div 5 = 1000$원이므로 한쪽은 $3 \times 1000 = 3000$원, 다른 쪽은 $2 \times 1000 = 2000$원을 받습니다.

연습 문제: 밀가루와 설탕을 $5:2$의 비로 섞어서 총 350g을 만들려고 합니다. 밀가루와 설탕은 각각 몇 g이 필요합니까?

풀이:

1단계: 전체 몫의 수 = $5 + 2 = 7$

2단계: 한 몫의 크기 = $350 \div 7 = 50\text{g}$

3단계: 밀가루 = $5 \times 50 = 250\text{g}$, 설탕 = $2 \times 50 = 100\text{g}$

4단계: 검산 — $250 + 100 = 350\text{g}$ ✓

비율 (Rate)

비율(Rate)이란 기준량에 대한 비교하는 양의 크기를 나타낸 값입니다. 비 $A:B$에서 비율은 다음과 같습니다.

$$\text{비율} = \frac{A}{B} = A \div B$$

예를 들어 $3:2$의 비율은 $\frac{3}{2} = 1.5$입니다.

백분율 (Percent, %)

백분율은 비율을 100을 기준으로 나타낸 것입니다. "전체를 100으로 보았을 때 얼마인가?"를 표현합니다.

$$\text{백분율}(\%) = \text{비율} \times 100$$

예시 1: 시험에서 40문제 중 32문제를 맞혔습니다. 정답률은 몇 %입니까?

$$\text{비율} = \frac{32}{40} = 0.8$$ $$\text{백분율} = 0.8 \times 100 = 80\%$$

예시 2: 학교 전체 학생 500명 중 여학생이 230명입니다. 여학생의 비율은?

$$\frac{230}{500} = 0.46 = 46\%$$

할푼리

할푼리는 한국에서 전통적으로 사용하는 비율 표현 방식입니다.

단위뜻백분율소수
할(割)전체의 $\frac{1}{10}$10%0.1
푼(分)전체의 $\frac{1}{100}$1%0.01
리(厘)전체의 $\frac{1}{1000}$0.1%0.001

예시: "타율 3할 2푼 5리"는 얼마일까요?

$$3\text{할} + 2\text{푼} + 5\text{리} = 0.3 + 0.02 + 0.005 = 0.325 = 32.5\%$$

즉, 10번 타석에 서면 약 3.25번 안타를 치는 실력이라는 뜻입니다.

속도 (Rate of speed)

속도도 비율의 한 종류입니다. 이동한 거리를 걸린 시간으로 나눈 것입니다.

$$\text{속도} = \frac{\text{거리}}{\text{시간}}$$

예시: 240km를 3시간에 갔다면, 평균 속도는?

$$\text{속도} = \frac{240\text{km}}{3\text{시간}} = 80\text{km/h}$$

이것은 "1시간마다 평균 80km를 간다"는 뜻입니다.

비례식과 교차 곱셈

비례식이란 두 비가 같다는 것을 나타내는 식입니다.

$$a : b = c : d$$

이것은 분수로 쓰면 다음과 같습니다.

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

비례식에서 가장 중요한 성질은 교차 곱셈(Cross Multiplication)입니다.

교차 곱셈 법칙: $a : b = c : d$이면 $ad = bc$가 성립합니다. 여기서 $a$와 $d$를 외항(바깥쪽), $b$와 $c$를 내항(안쪽)이라고 합니다. 즉, 외항의 곱 = 내항의 곱입니다.

왜 교차 곱셈이 성립하는가? 단계별로 보겠습니다.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$에서 출발합니다.

1단계: 양변에 $b$를 곱합니다.

$$a = \frac{c \times b}{d}$$

2단계: 양변에 $d$를 곱합니다.

$$a \times d = c \times b$$ $$\therefore ad = bc$$

분수의 성질을 이용하면 자연스럽게 "외항의 곱 = 내항의 곱"이 나옵니다.

예시 1: $3 : 5 = x : 20$에서 $x$를 구하십시오.

교차 곱셈을 적용합니다.

$$3 \times 20 = 5 \times x$$ $$60 = 5x$$ $$x = 60 \div 5 = 12$$

검산: $3:5 = 12:20$. 양변을 4로 나누면 $3:5 = 3:5$ ✓

예시 2: $2 : 7 = 6 : x$에서 $x$를 구하십시오.

$$2 \times x = 7 \times 6$$ $$2x = 42$$ $$x = 21$$

검산: $2:7 = 6:21$. 양변을 각각 나누면 비율이 $\frac{2}{7} \approx 0.286$으로 같습니다. ✓

정비례와 반비례

정비례 (Direct Proportion)

한쪽이 2배, 3배가 되면 다른 쪽도 2배, 3배가 되는 관계를 정비례라고 합니다.

$$y = kx \quad (k \text{는 비례상수, } k \neq 0)$$

예시: 사과 1개에 800원입니다. 사과를 여러 개 살 때 총 가격을 구하십시오.

사과 개수 ($x$)12345
총 가격 ($y$원)8001600240032004000

이 관계를 식으로 쓰면 $y = 800x$입니다. 비례상수 $k = 800$이며, 사과가 2배가 되면 가격도 2배가 됩니다.

정비례의 핵심 특징:

$x$ $y$ 1 2 3 4 2 4 6 O y = 2x

반비례 (Inverse Proportion)

한쪽이 2배, 3배가 되면 다른 쪽은 $\frac{1}{2}$배, $\frac{1}{3}$배가 되는 관계를 반비례라고 합니다.

$$y = \frac{k}{x} \quad (k \text{는 비례상수, } k \neq 0)$$

예시: 240km 거리를 이동할 때, 속도와 걸리는 시간의 관계

속도 ($x$ km/h)406080120240
시간 ($y$ 시간)64321

이 관계를 식으로 쓰면 $y = \frac{240}{x}$입니다. 속도가 2배가 되면 시간은 $\frac{1}{2}$배가 됩니다.

반비례의 핵심 특징:

$x$ $y$ O 1 2 3 4 5 2 4 6 y = k/x
정비례 vs 반비례 구별법: $x$가 커질 때 $y$도 함께 커지면 정비례, $y$가 작아지면 반비례입니다. 또한, $\frac{y}{x}$가 일정하면 정비례, $x \times y$가 일정하면 반비례입니다.

비율의 실생활 응용

응용 1: 레시피 조절

요리 레시피는 비례를 활용하는 대표적인 예입니다.

문제: 카레 레시피가 4인분 기준으로 다음과 같습니다. 6인분을 만들려면 재료가 얼마나 필요합니까?

재료4인분6인분
카레 가루100g?
감자2개?
당근1개?
물800mL?

풀이:

1단계: 비율을 구합니다.

$$\text{비율} = \frac{6\text{인분}}{4\text{인분}} = \frac{3}{2} = 1.5$$

2단계: 각 재료에 1.5를 곱합니다.

왜 이렇게 하는가? 인분 수가 $\frac{3}{2}$배가 되었으므로 모든 재료도 $\frac{3}{2}$배가 되어야 맛의 비율이 유지됩니다. 이것이 바로 정비례 관계입니다.

응용 2: 지도 축척

축척이란 지도에서의 거리와 실제 거리의 비입니다.

문제: 축척이 $1:50000$인 지도에서 서울역과 한강 사이의 거리가 4cm입니다. 실제 거리는 얼마입니까?

풀이:

$1:50000$의 뜻: 지도의 1cm = 실제 50000cm

$$\text{실제 거리} = 4 \times 50000 = 200000\text{cm}$$

단위를 바꾸면:

$$200000\text{cm} = 2000\text{m} = 2\text{km}$$

따라서 실제 거리는 약 2km입니다.

단위 변환 정리: $1\text{km} = 1000\text{m} = 100000\text{cm}$. 축척 $1:50000$이면 지도의 1cm가 실제 500m(= 0.5km)에 해당합니다.

응용 3: 할인율 계산

문제: 원래 가격이 25,000원인 운동화가 30% 할인 판매 중입니다. 할인된 가격은 얼마입니까?

풀이 (방법 1: 할인 금액을 먼저 구하기):

1단계: 할인 금액 = 원래 가격 $\times$ 할인율

$$25000 \times \frac{30}{100} = 25000 \times 0.3 = 7500\text{원}$$

2단계: 할인된 가격 = 원래 가격 - 할인 금액

$$25000 - 7500 = 17500\text{원}$$

풀이 (방법 2: 한 번에 계산하기):

30%를 할인하면 70%를 내는 것과 같습니다.

$$25000 \times (1 - 0.3) = 25000 \times 0.7 = 17500\text{원}$$
더 빠른 계산법: $p$% 할인이면 $(100 - p)$%를 곱하면 바로 최종 가격이 나옵니다. 예를 들어 20% 할인이면 원래 가격에 $0.8$을 곱하면 됩니다.

응용 4: 속도, 거리, 시간 관계

속도, 거리, 시간은 다음 관계를 가집니다.

$$\text{거리} = \text{속도} \times \text{시간}$$ $$\text{속도} = \frac{\text{거리}}{\text{시간}}, \quad \text{시간} = \frac{\text{거리}}{\text{속도}}$$

문제: 집에서 학교까지 거리가 6km입니다. 자전거로 시속 12km로 가면 몇 분 걸립니까? 걸어서 시속 4km로 가면 몇 분 걸립니까?

풀이:

자전거:

$$\text{시간} = \frac{6\text{km}}{12\text{km/h}} = 0.5\text{시간} = 30\text{분}$$

걷기:

$$\text{시간} = \frac{6\text{km}}{4\text{km/h}} = 1.5\text{시간} = 90\text{분}$$

속도가 $\frac{12}{4} = 3$배 빨라지면 시간은 $\frac{1}{3}$이 됩니다. 이것이 속도와 시간의 반비례 관계입니다. (거리가 일정할 때)

응용 5: 농도 계산

농도(Concentration)란 용액 전체에서 녹아 있는 물질(용질)이 차지하는 비율입니다.

$$\text{농도}(\%) = \frac{\text{용질의 양}}{\text{용액의 양}} \times 100 = \frac{\text{용질의 양}}{\text{용질의 양} + \text{용매의 양}} \times 100$$

문제: 소금 20g을 물 380g에 녹였습니다. 이 소금물의 농도는 몇 %입니까?

풀이:

1단계: 용액의 양 = 소금 + 물 = $20 + 380 = 400\text{g}$

2단계: 농도 계산

$$\text{농도} = \frac{20}{400} \times 100 = 5\%$$

반대 문제: 8% 소금물 500g에는 소금이 몇 g 들어 있습니까?

$$\text{소금의 양} = 500 \times \frac{8}{100} = 500 \times 0.08 = 40\text{g}$$
주의! 농도를 계산할 때 분모는 "용질 + 용매"인 용액 전체의 양입니다. 용매(물)의 양만 분모에 넣으면 틀립니다!

다음 단계

수와 연산을 잘 이해했다면, 다음 주제로 넘어가 보십시오!

참고자료