삼각함수의 정리

작성자
조재혁(minzkn@minzkn.com)
고친과정
2008년 어느날 : 처음씀

1.1. 개요
1.2. 호도법과 60분법
1.3. 덧셈정리
1.4. 배각정리
1.5. 반각의 정리
1.6. 삼각함수 공식 총괄정리
1.7. 삼각함수의 구현
1.8. 참고링크

1.1. 개요

삼각함수개요
참고 영상
[GIF image (523.48 KB)]

[깨봉수학] 초등학교 때 수학 이렇게 배웠으면... (feat. 삼각함수, Sine)
참고 영상
[Youtube movie]

[PNG image (31.25 KB)]

원의 중심 O(좌표 0, 0)와 반지름 r만큼 떨어진 X점(좌표 x, y)을 이은 선 OX가 있을 때 x축으로부터 각의 크기 θ에 대한 주요 삼각 함수는 다음을 의미합니다.

sinθ	y / r
cosθ	x / r
tanθ	y / x
"r² = x² + y²" 조건 (r, x, y 가 직각 삼각형의 변이라는 것)

1.2. 호도법과 60분법

각도 θ는 호도법(radian)과 60분법(degree)으로 각각 표시할 수 있으며 둘 간의 관계는 다음과 같습니다.

π rad = 180˚

60분법	0˚	30˚	45˚	60˚	90˚	180˚	270˚	360˚
호도법	0	π / 6	π / 4	π / 3	π / 2	π	3π / 2	2π

1.3. 덧셈정리

sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)
sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)
cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)
cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)
tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y))
tan(x - y) = (tan(x) - tan(y)) / (1 + tan(x) * tan(y))

1.4. 배각정리

sin(2 * x) = 2 * sin(x) * cos(x)
cos(2 * x) = cos²(x) - sin²(x) = 2 * cos²(x) - 1 = 1 - 2 * sin²(x)
tan(2 * x) = (2 * tan(x)) / (1 - tan²(x))

1.5. 반각의 정리

sin²(x / 2) = (1 - cos(x)) / 2
cos²(x / 2) = (1 + cos(x)) / 2
tan²(x / 2) = (1 - cos(x)) / (1 + cos(x))

1.6. 삼각함수 공식 총괄정리

sin(-θ)=-sinθ, cos(-θ)=cosθ, tan(-θ)=-tanθ
sin²θ+cos²θ=1, sec²θ-tan²θ=1, csc²θ-cot²θ=1
sin(π/2-θ)=cosθ, sin(π/2+θ)=cosθ, sin(θ±π/2)=±cosθ
cos(π/2-θ)=sinθ, cos(π/2+θ)=-sinθ, cos(θ±π/2)=Ŧsinθ
sin(π-θ)=sinθ, sin(π+θ)=-sinθ, sin(θ±π)=-sinθ
cos(π-θ)=-cosθ, cos(π+θ)=-cosθ, cos(θ±π)=-cosθ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ, cos(α±β)=cosαcosβŦsinαsinβ
tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ, tan(α-β)=tanα-tanβ/1+tanαtanβ
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=cos²θ-sin²θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ, tan2θ=2tanθ/1-tan²θ
sin²θ/2=1-cosθ/2, cos²θ/2=1+cosθ/2, tan²θ/2=1-cosθ/1+cosθ
sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}
cosαcosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}
sinαsinβ=-1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}
sinα+sinβ=2sin(α+β/2)cos(α-β/2)
sinα-sinβ=2cos(α+β/2)sin(α-β/2)
cosα+cosβ=2cos(α+β/2)cos(α-β/2)
cosα-cosβ=-2sin(α+β/2)sin(α-β/2)

1.7. 삼각함수의 구현

아래 python 구현으로 sin, cos, tan 를 각각 하나의 좌표 평면에 그래프로 표현

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

s_x = np.arange(-4, 4, 0.1)
s_y1 = np.sin(s_x)
s_y2 = np.cos(s_x)
s_y3 = np.tan(s_x)

plt.figure(figsize=(16, 10))
plt.plot(s_x, s_y1, 'r-', label='sin')
plt.plot(s_x, s_y2, 'b-', label='cos')
plt.plot(s_x, s_y3, 'm--', label='tan') # 여기서 tan 는 'mo' 속성으로 그리는게 더 좋을수도...
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.ylim(-2.0, 2.0)
plt.axvline(x=0, color='k')
plt.axhline(y=0, color='k')
plt.title('sin/cos/tan function')
plt.legend()
plt.show()

[PNG image (55.73 KB)]

아래 python 구현으로 sin과 cos을 혼합하여 x, y, z축 3차원 그래프 표현

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-20, 20, 0.1)
y = np.sin(x)
z = np.cos(x)

fig = plt.figure(figsize=(16, 10))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.set_title("Helix test", size = 20)
ax.set_xlabel("x", size = 14)
ax.set_ylabel("y", size = 14)
ax.set_zlabel("z", size = 14)
ax.plot(x, y, z)

[PNG image (155.08 KB)]

C 로 구현한 sin 함수

C source 보기

#define def_hwport_pi (3.14159265358979323846264338327950288) /* pi */

double hwport_pow(double s_value, double s_power)
{
    double s_result;
    double s_count;

    for(s_result = (double)1.0, s_count = (double)0.0;s_count < s_power;s_count++) {
        s_result *= s_value;
    }

    return(s_result);
}

double hwport_sin_v1(double s_radian)
{
    double s_result;
    double s_step;
    double s_factorial_value;

    /* step 이 커지는 단계일수록 정밀도는 높아지지만 factorial 값의 범위도 무시할 수 없기에 여기서는 19! 까지만 계산합니다. */
    for(s_result = 0.0, s_step = 1.0, s_factorial_value = 1.0;s_step <= 17.0;s_step += 4.0) {
        s_factorial_value *= s_step;
        s_result += hwport_pow(s_radian, s_step) / s_factorial_value /* step! */;
        s_factorial_value *= s_step + 1.0;
        s_factorial_value *= s_step + 2.0;
        s_result -= hwport_pow(s_radian, s_step + 2.0) / s_factorial_value /* (step+2)! */;
        s_factorial_value *= s_step + 3.0;
    }

    return(s_result);
}

double hwport_sin_v2(double s_radian)
{
    double s_result;
    double s_factorial_value;
    double s_radian_pow;
    int s_depth;

    s_result = s_radian;
    s_factorial_value = 1.0;
    s_radian_pow= s_radian* s_radian* (-1.0);

    for(s_depth = 1;s_depth < 13;s_depth++) {
        s_factorial_value *= ((s_depth << 1) * ((s_depth << 1) + 1));
        s_radian*= s_radian_pow;
        s_result += s_radian/ s_factorial_value;
    }

    return(s_result);
}

double hwport_sin(double s_radian)
{
    return(hwport_sin_v2(s_radian));
}

double hwport_cos(double s_radian)
{
    double s_radian_90;
    double s_radian_180;
    double s_radian_270;

    s_radian_90 = ((double)def_hwport_pi) / ((double)2.0);
    s_radian_180 = (double)def_hwport_pi;
    s_radian_270 = s_radian_90 + s_radian_180;

    if(s_radian <= s_radian_90) {
        return(hwport_sin(s_radian_90 - s_radian));
    }

    if(s_radian <= s_radian_180) {
        return(hwport_sin(s_radian - s_radian_90) * ((double)(-1.0)));
    }

    if(s_radian <= s_radian_270) {
        return(hwport_sin(s_radian_270 - s_radian) * ((double)(-1.0)));
    }

    return(hwport_sin(s_radian - s_radian_270));
}

double hwport_tan(double s_radian)
{
    return(hwport_sin(s_radian) / hwport_cos(s_radian));
}