미분기하학 (Differential Geometry)

미분기하학(Differential Geometry)은 미적분학의 도구를 사용하여 곡선, 곡면, 그리고 더 일반적인 공간(다양체)의 기하학적 성질을 연구하는 수학 분야입니다. 유클리드 기하학이 직선과 평면만 다루었다면, 미분기하학은 휘어진 공간 자체를 체계적으로 분석합니다.

선수 지식: 미적분학, 선형대수학

난이도: ★★★★★ (대학교 심화)

평면곡선

매개변수 표현(Parametric Representation)을 이용하면 평면 위의 곡선을 하나의 매개변수 $t$의 함수로 나타낼 수 있습니다.

곡선 $\alpha$가 정칙(Regular)이라 함은 모든 $t$에서 $\alpha'(t) \neq \mathbf{0}$인 것을 의미합니다. 이 조건은 곡선 위의 모든 점에서 접선 방향이 잘 정의됨을 보장합니다.

호의 길이와 호장 매개변수

곡선 $\alpha(t)$의 호의 길이(Arc Length)는 다음과 같이 계산합니다.

호의 길이 $s$ 자체를 매개변수로 사용하면, $\|\alpha'(s)\| = 1$이 되어 계산이 크게 단순해집니다. 이것을 호장 매개변수화(Arc-length Parametrization)라 합니다.

곡률

곡률(Curvature) $\kappa$는 곡선이 얼마나 빠르게 방향을 바꾸는지를 나타내는 양입니다. 호장 매개변수 $s$로 표현된 곡선에 대하여 다음과 같이 정의합니다.

일반 매개변수 $t$에 대해서는 다음 공식을 사용합니다.

프레네 공식 (Frenet Formulas)

호장 매개변수로 표현된 평면곡선에서 단위접선벡터(Unit Tangent Vector) $\mathbf{T}$와 단위법선벡터(Unit Normal Vector) $\mathbf{N}$을 다음과 같이 정의합니다.

평면곡선의 프레네 공식은 다음과 같습니다.

이 공식은 곡선을 따라 이동할 때 기저 벡터가 어떻게 회전하는지를 곡률로 완전히 결정한다는 것을 보여 줍니다.

전곡률 (Total Curvature)

닫힌 평면곡선 $\alpha$의 전곡률(Total Curvature)은 곡선을 한 바퀴 도는 동안 접선벡터가 회전한 총 각도를 의미합니다.

여기서 $n$은 회전수(Winding Number)이며, 단순 닫힌 곡선(자기교차가 없는 경우)에서는 $n = \pm 1$입니다. 이것을 우멘라우프자츠(Umlaufsatz)라 합니다.

4정점 정리 (Four-Vertex Theorem)

볼록하지 않은 경우를 포함하여, 단순 닫힌 매끄러운 평면곡선의 곡률 함수 $\kappa(s)$는 적어도 4개의 극값(정점, Vertex)을 가집니다.

등주부등식 (Isoperimetric Inequality)

평면 위의 단순 닫힌 곡선이 둘러싸는 영역의 넓이를 $A$, 곡선의 길이를 $L$이라 하면, 다음 부등식이 성립합니다.

등호는 곡선이 원일 때에만 성립합니다. 즉, 주어진 둘레를 가지는 도형 중 넓이가 최대인 것은 원입니다. 이 결과는 곡률과 관련된 다음의 동치 형태로 표현할 수도 있습니다.

공간곡선

3차원 공간에서의 곡선은 $\alpha(t) = (x(t), y(t), z(t))$로 표현합니다. 평면곡선에서는 곡률 하나로 곡선의 모양이 결정되었지만, 공간곡선에서는 비틀림(Torsion) $\tau$가 추가로 필요합니다.

곡률과 비틀림

공간곡선의 곡률(Curvature)은 평면곡선과 동일하게 $\kappa = \|\mathbf{T}'(s)\|$로 정의합니다. 비틀림(Torsion) $\tau$는 곡선이 접촉평면(Osculating Plane)으로부터 얼마나 벗어나는지를 측정합니다.

여기서 $\mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N}$은 종법선벡터(Binormal Vector)입니다.

프레네-세레 공식 (Frenet-Serret Formulas)

공간곡선의 프레네 틀(Frenet Frame) $\{\mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B}\}$은 다음의 미분방정식 체계를 만족합니다.

예시: 나선(Helix) $\alpha(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$는 곡률 $\kappa = \frac{a}{a^2+b^2}$, 비틀림 $\tau = \frac{b}{a^2+b^2}$으로 모두 상수입니다. 역으로, 곡률과 비틀림이 모두 상수인 곡선은 반드시 나선입니다.

정칙곡면 (Regular Surface)

정칙곡면(Regular Surface)은 직관적으로 "매끄럽고 자기교차가 없는 곡면"입니다. 엄밀하게는 다음과 같이 정의합니다.

$\mathbb{R}^3$의 부분집합 $S$가 정칙곡면이라 함은, $S$의 모든 점 $p$에 대하여 $p$의 열린 근방 $V$와 열린집합 $U \subseteq \mathbb{R}^2$, 그리고 매끄러운 사상 $\mathbf{x}: U \to V \cap S$가 존재하여 다음을 만족하는 것입니다.

1. $\mathbf{x}$는 미분가능(무한히 미분 가능)합니다.
2. $\mathbf{x}$는 위상동형사상(Homeomorphism)입니다.
3. 모든 $q \in U$에서 미분 $d\mathbf{x}_q$의 계수(rank)가 2입니다.

사상 $\mathbf{x}(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$를 매개변수화(Parametrization) 또는 좌표 조각(Coordinate Patch)이라 합니다.

예시

곡면론 심화

직선면 (Ruled Surface)

직선면(Ruled Surface)은 하나의 매개변수족의 직선으로 구성되는 곡면입니다. 공간곡선 $\alpha(t)$와 각 점에서의 방향 벡터 $\mathbf{w}(t)$에 의하여 다음과 같이 매개변수화합니다.

여기서 $\alpha(t)$를 모선(Directrix), 각 고정된 $t$에서의 직선을 모선(Ruling)이라 합니다. 원기둥, 원뿔, 쌍곡 포물면(안장면) 등이 직선면의 예입니다.

직선면의 가우스 곡률은 항상 $K \leq 0$입니다. 특히 $K = 0$인 직선면을 가전곡면(Developable Surface)이라 하며, 이것은 평면으로 펼칠 수 있는 곡면에 해당합니다.

극소곡면 (Minimal Surface)

극소곡면(Minimal Surface)은 평균곡률이 항등적으로 0인 곡면, 즉 $H = 0$을 만족하는 곡면입니다. 이 이름은 경계가 고정된 곡면들 중 넓이를 극소화하는 곡면이라는 사실에서 유래합니다.

대표적인 극소곡면은 다음과 같습니다.

코다찌 방정식 (Codazzi Equations)

곡면의 제1기본형식과 제2기본형식의 계수는 독립적이지 않으며, 가우스 방정식(Gauss Equation)과 코다찌-마이나르디 방정식(Codazzi-Mainardi Equations)이라는 적합 조건(Compatibility Conditions)을 만족해야 합니다.

직교 매개변수($F = 0$)에서 코다찌 방정식은 다음과 같습니다.

제1기본형식 (First Fundamental Form)

제1기본형식(First Fundamental Form)은 곡면 위에서 길이, 넓이, 각도를 측정하는 도구입니다. 매개변수화 $\mathbf{x}(u,v)$에 대하여 다음과 같이 정의합니다.

여기서 계수는 다음과 같습니다.

응용: 길이, 넓이, 각도

곡선의 길이: 곡면 위의 곡선 $\alpha(t) = \mathbf{x}(u(t), v(t))$의 길이는 다음과 같습니다.

영역의 넓이: 매개변수 영역 $D$에 대응하는 곡면의 넓이는 다음과 같습니다.

두 곡선 사이의 각도: 곡면 위에서 만나는 두 곡선의 접선벡터가 이루는 각도 $\theta$는 제1기본형식으로부터 계산합니다.

가우스 사상과 제2기본형식

가우스 사상(Gauss Map) $\mathbf{n}: S \to S^2$은 곡면 $S$ 위의 각 점에 그 점에서의 단위법선벡터(Unit Normal Vector)를 대응시키는 사상입니다.

가우스 사상의 미분 $d\mathbf{n}_p: T_pS \to T_pS$는 곡면이 점 $p$ 근처에서 어떻게 휘는지를 나타냅니다. 이것을 형상 연산자(Shape Operator) 또는 바인가르텐 사상(Weingarten Map)이라 하며, $d\mathbf{n}_p = -S_p$로 표기합니다.

제2기본형식

제2기본형식(Second Fundamental Form)은 곡면이 접평면으로부터 얼마나 벗어나는지를 측정합니다.

여기서 계수는 다음과 같습니다.

주곡률, 가우스 곡률, 평균곡률

형상 연산자 $S_p$의 고유값(Eigenvalue)이 바로 주곡률(Principal Curvature) $\kappa_1$, $\kappa_2$이며, 대응하는 고유벡터 방향이 주방향(Principal Direction)입니다.

주곡률로부터 두 가지 중요한 곡률을 정의합니다.

예시: 반지름 $a$인 구면의 경우 $\kappa_1 = \kappa_2 = 1/a$이므로, $K = 1/a^2$이고 $H = 1/a$입니다. 평면은 $K = 0$, $H = 0$입니다.

가우스의 놀라운 정리 (Theorema Egregium)

가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium): 가우스 곡률 $K$는 곡면의 내재적 불변량(Intrinsic Invariant)입니다. 즉, $K$는 제1기본형식의 계수 $E, F, G$와 그 편미분만으로 계산할 수 있으며, 곡면의 등장 변환(Isometry)에 의해 보존됩니다.

구체적으로, $K$는 다음과 같이 표현됩니다 (직교 매개변수, 즉 $F = 0$인 경우).

측지선 (Geodesics)

측지선(Geodesic)은 곡면 위에서 "가장 직선에 가까운 곡선"입니다. 정확히는 측지 곡률(Geodesic Curvature)이 0인 곡선, 또는 동치로 곡선의 가속도 벡터가 항상 법선 방향인 곡선을 말합니다.

여기서 $\frac{D}{ds}$는 곡면 위에서의 공변미분(Covariant Derivative)을 나타냅니다. 측지선은 국소적으로 두 점 사이의 최단 경로이기도 합니다.

측지선 방정식

매개변수 $(u(t), v(t))$로 표현된 곡선이 측지선일 조건은 다음의 연립 미분방정식입니다.

여기서 $\Gamma^k_{ij}$는 크리스토펠 기호(Christoffel Symbol)로, 제1기본형식의 계수 $E, F, G$의 편미분으로 계산합니다.

가우스-보네 정리 (Gauss-Bonnet Theorem)

가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet Theorem)는 미분기하학에서 가장 아름다운 정리 중 하나로, 곡면의 국소적인 곡률(기하학)과 전체적인 형태(위상)를 연결합니다.

국소 가우스-보네 정리

정칙곡면 $S$ 위의 단순 영역 $R$이 조각적으로 매끄러운 경계 $\partial R$로 둘러싸여 있을 때, 다음이 성립합니다.

여기서 $\kappa_g$는 경계 곡선의 측지 곡률, $\theta_i$는 경계의 꼭짓점에서의 외각입니다.

전역 가우스-보네 정리

닫힌 곡면(Closed Surface, 경계가 없고 콤팩트한 곡면) $S$에 대하여 다음이 성립합니다.

여기서 $\chi(S)$는 곡면 $S$의 오일러 특성수(Euler Characteristic)입니다.

오일러 표수와의 관계

오일러 표수(Euler Characteristic) $\chi$는 다면체의 꼭짓점(V), 모서리(E), 면(F)의 수로부터 $\chi = V - E + F$로 계산하는 위상 불변량입니다. 닫힌 곡면에 대한 주요 값은 다음과 같습니다.

증명 스케치

전역 가우스-보네 정리의 증명 핵심은 다음과 같습니다.

1. 삼각분할(Triangulation): 닫힌 곡면 $S$를 측지 삼각형들로 분할합니다.
2. 국소 가우스-보네 적용: 각 삼각형 $\Delta_i$에 국소 가우스-보네 정리를 적용하면 $\iint_{\Delta_i} K\,dA + \int_{\partial\Delta_i} \kappa_g\,ds + \sum \theta_j = 2\pi$입니다.
3. 합산: 모든 삼각형에 대하여 합산합니다. 내부 변의 측지 곡률 적분은 인접 삼각형에서 반대 방향으로 상쇄됩니다.
4. 각도 조건: 각 내부 꼭짓점 주위의 외각의 합은 $2\pi - (\text{내각의 합})$이며, 내부 꼭짓점의 내각의 합은 $2\pi$입니다. 이를 정리하면 $\iint_S K\,dA = 2\pi(V - E + F) = 2\pi\chi(S)$를 얻습니다.

매끄러운 다양체 (Smooth Manifold)

지금까지 $\mathbb{R}^3$ 속의 곡선과 곡면을 다루었습니다. 매끄러운 다양체(Smooth Manifold)는 이를 일반화하여, 주변 공간에 의존하지 않고 "국소적으로 유클리드 공간처럼 보이는 공간"을 독립적으로 정의합니다.

정의: $n$차원 매끄러운 다양체 $M$은 위상 공간으로서 다음 조건을 만족합니다.

1. 하우스도르프(Hausdorff) 공간입니다.
2. 가산 기저(Second Countable)를 가집니다.
3. 매끄러운 아틀라스(Smooth Atlas)를 가집니다: $M$의 열린 덮개 $\{U_\alpha\}$와 위상동형사상 $\varphi_\alpha: U_\alpha \to \mathbb{R}^n$의 모임이 존재하여, 전이 사상(Transition Map) $\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}$이 모두 매끄러운 함수($C^\infty$)입니다.

접선공간 (Tangent Space)

다양체 $M$ 위의 점 $p$에서의 접선공간(Tangent Space) $T_pM$은 $p$에서 $M$에 접하는 모든 방향을 모은 벡터 공간입니다. $n$차원 다양체의 각 점에서 접선공간은 $n$차원 벡터 공간입니다.

좌표계 $(x^1, \ldots, x^n)$이 주어지면, 접선공간의 기저는 편미분 연산자 $\left\{\frac{\partial}{\partial x^1}\bigg|_p, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}\bigg|_p\right\}$로 주어집니다.

접선벡터 $v \in T_pM$은 다음과 같이 표현합니다.

단위의 분할 (Partition of Unity)

단위의 분할(Partition of Unity)은 다양체 위에서 국소적으로 정의된 대상을 전역적으로 확장하기 위한 핵심 도구입니다.

정의: 다양체 $M$의 열린 덮개 $\{U_\alpha\}$에 종속하는 단위의 분할이란, 매끄러운 함수의 모임 $\{\rho_\alpha: M \to [0,1]\}$으로서 다음을 만족하는 것입니다.

1. $\mathrm{supp}(\rho_\alpha) \subseteq U_\alpha$ (각 함수의 지지가 대응하는 열린집합에 포함)
2. 모임 $\{\mathrm{supp}(\rho_\alpha)\}$이 국소 유한(Locally Finite)합니다.
3. $\sum_\alpha \rho_\alpha(p) = 1$ (모든 $p \in M$에서)

침몰 정리 (Whitney Embedding Theorem)

휘트니 침몰 정리(Whitney Embedding Theorem): 모든 $n$차원 매끄러운 다양체는 $\mathbb{R}^{2n}$에 매끄럽게 침몰(Embedding)됩니다. 즉, 추상적으로 정의된 다양체를 충분히 고차원의 유클리드 공간 속의 부분다양체로 실현할 수 있습니다.

여기서 관련 개념을 정리합니다.

사르의 정리 (Sard's Theorem)

사르의 정리(Sard's Theorem): 매끄러운 사상 $f: M \to N$의 임계값(Critical Value)의 집합은 $N$에서 측도 0(Measure Zero)입니다.

여기서 점 $p \in M$이 임계점(Critical Point)이라 함은 $df_p$가 전사가 아닌 것이며, 임계점의 상을 임계값이라 합니다. 사르의 정리는 "거의 모든 값이 정칙값"이라는 의미이며, 다양체론에서 횡단성(Transversality) 이론과 모스 이론(Morse Theory)의 기초가 됩니다.

미분형식 (Differential Forms)

미분형식(Differential Form)은 다양체 위에서 적분을 좌표에 의존하지 않게 정의하기 위한 도구입니다.

1-형식

1-형식(1-form)은 접선벡터를 받아 실수를 내놓는 선형 함수, 즉 $T_pM$의 쌍대공간(Dual Space) $T_p^*M$의 원소입니다. 좌표계 $(x^1, \ldots, x^n)$에서 1-형식의 기저는 $\{dx^1, \ldots, dx^n\}$이며, 일반적인 1-형식은 다음과 같이 표현합니다.

$k$-형식과 외적 (Exterior Product)

$k$-형식($k$-form)은 $k$개의 접선벡터를 받아 실수를 내놓는 반대칭 다중선형 함수입니다. $k$-형식과 $l$-형식의 외적(Exterior Product, Wedge Product) $\wedge$를 사용하면 $(k+l)$-형식이 만들어집니다.

예시: $\mathbb{R}^3$에서 2-형식 $\omega = f\,dx \wedge dy + g\,dy \wedge dz + h\,dz \wedge dx$는 사실 벡터장 $(h, f, g)$와 대응합니다.

외미분 (Exterior Derivative)

외미분(Exterior Derivative) $d$는 $k$-형식을 $(k+1)$-형식으로 보내는 연산자로, 다음 성질을 만족합니다.

1. 선형성: $d(\omega + \eta) = d\omega + d\eta$
2. 라이프니츠 규칙: $d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta$
3. $d^2 = 0$: $d(d\omega) = 0$ (모든 형식에 대하여)

0-형식(함수) $f$에 대하여 외미분은 전미분입니다.

드람 코호몰로지 (de Rham Cohomology)

$d^2 = 0$이라는 성질로부터 다음의 드람 복체(de Rham Complex)가 구성됩니다.

여기서 $\Omega^k(M)$은 $M$ 위의 $k$-형식 전체의 벡터 공간입니다. $k$차 드람 코호몰로지 군(de Rham Cohomology Group)은 다음과 같이 정의합니다.

여기서 $Z^k(M) = \{\omega \in \Omega^k : d\omega = 0\}$은 닫힌 형식(Closed Form)의 공간이고, $B^k(M) = \{d\eta : \eta \in \Omega^{k-1}\}$은 완전 형식(Exact Form)의 공간입니다.

푸앵카레 보조정리 (Poincaré Lemma)

푸앵카레 보조정리(Poincaré Lemma): 수축 가능한(Contractible) 열린집합 위에서, 모든 닫힌 형식은 완전합니다.

특히 $\mathbb{R}^n$ 위에서는 $k \geq 1$일 때 $H^k_{\mathrm{dR}}(\mathbb{R}^n) = 0$입니다. 반면 원 $S^1$ 위에서는 $H^1_{\mathrm{dR}}(S^1) \cong \mathbb{R}$이므로, 닫혔지만 완전하지 않은 1-형식이 존재합니다. 예를 들어 $d\theta$는 $S^1$ 전체에서 닫힌 형식이지만, $\theta$는 $S^1$ 위의 전역적인 매끄러운 함수가 아니므로 완전 형식이 아닙니다.

벡터장 (Vector Fields)

다양체 $M$ 위의 벡터장(Vector Field) $X$는 각 점 $p \in M$에 접선벡터 $X(p) \in T_pM$을 매끄럽게 대응시키는 사상입니다. 벡터장은 접선 다발 $TM$의 단면(Section)으로 이해할 수 있습니다.

리 괄호 (Lie Bracket)

두 벡터장 $X$, $Y$의 리 괄호(Lie Bracket) $[X, Y]$는 다음과 같이 정의되는 새로운 벡터장입니다.

좌표계 $\{x^i\}$에서 $X = \sum_i X^i \partial_i$, $Y = \sum_j Y^j \partial_j$이면,

리 괄호는 다음 성질을 만족합니다.

1. 반대칭성: $[X, Y] = -[Y, X]$
2. 야코비 항등식: $[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0$
3. $\mathbb{R}$-쌍선형: $[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z]$

이 성질들에 의하여, 벡터장 전체의 공간 $\mathfrak{X}(M)$은 리 대수(Lie Algebra)를 이룹니다.

리 미분 (Lie Derivative)

리 미분(Lie Derivative) $\mathcal{L}_X$는 벡터장 $X$의 흐름(Flow)을 따라 텐서장이 어떻게 변하는지를 측정합니다. 벡터장 $Y$에 대한 리 미분은 리 괄호와 일치합니다.

미분형식 $\omega$에 대한 리 미분은 카르탄 공식(Cartan's Magic Formula)으로 계산합니다.

여기서 $\iota_X$는 $X$에 의한 내부곱(Interior Product)이며, $k$-형식을 $(k-1)$-형식으로 보냅니다.

프로베니우스 정리 (Frobenius Theorem)

$n$차원 다양체 $M$ 위에서 $k$차원 분포(Distribution) $\mathcal{D}$란, 각 점 $p$에 $T_pM$의 $k$차원 부분공간 $\mathcal{D}_p$를 매끄럽게 대응시키는 것입니다.

프로베니우스 정리: 분포 $\mathcal{D}$가 대합적(Involutive)이면, 즉 $\mathcal{D}$에 속하는 임의의 두 벡터장 $X, Y$에 대하여 $[X, Y]$도 $\mathcal{D}$에 속하면, $\mathcal{D}$는 적분 가능(Integrable)합니다.

적분 가능하다 함은 $M$이 $\mathcal{D}$에 접하는 $k$차원 부분다양체(엽, Leaf)들로 엽층화(Foliation)됨을 의미합니다.

벡터 다발 (Vector Bundle) 개요

벡터 다발(Vector Bundle)은 다양체의 각 점에 벡터 공간을 매끄럽게 붙인 구조입니다.

정의: 다양체 $M$ 위의 $k$차 벡터 다발(Rank-$k$ Vector Bundle) $\pi: E \to M$은 다음을 만족합니다.

1. 각 점 $p \in M$에 대하여 올(Fiber) $E_p = \pi^{-1}(p)$는 $k$차원 벡터 공간입니다.
2. 국소 자명화(Local Trivialization): $M$의 각 점 근방 $U$에서 $\pi^{-1}(U) \cong U \times \mathbb{R}^k$인 매끄러운 동형이 존재합니다.

대표적인 벡터 다발

접선 다발과 여접선 다발

접선 다발(Tangent Bundle) $TM = \bigsqcup_{p \in M} T_pM$은 $n$차원 다양체 $M$ 위의 $n$차 벡터 다발로, $2n$차원 다양체입니다. 좌표계 $(x^1, \ldots, x^n)$이 $M$의 점 $p$에 좌표를 주면, $T_pM$의 벡터 $v = \sum v^i \partial_i|_p$에 $(x^1, \ldots, x^n, v^1, \ldots, v^n)$이라는 $2n$개의 좌표를 부여합니다.

여접선 다발(Cotangent Bundle) $T^*M = \bigsqcup_{p \in M} T_p^*M$은 접선 다발의 쌍대 다발로, 1-형식의 다발입니다. 역학에서 위상 공간(Phase Space)은 $T^*M$으로 모델링됩니다.

텐서 다발 (Tensor Bundle)

접선 다발과 여접선 다발로부터 텐서 다발(Tensor Bundle)을 구성할 수 있습니다.

$(r,s)$-형 텐서장은 $T^{(r,s)}M$의 매끄러운 단면입니다. 주요 예시는 다음과 같습니다.

• 리만 계량 $g$: $(0,2)$-형 대칭 양정치 텐서장
• 리만 곡률 텐서 $R$: $(1,3)$-형 텐서장
• 미분형식 $\omega$: $(0,k)$-형 반대칭 텐서장

접속 (Connection)과 공변미분

유클리드 공간에서는 서로 다른 점의 벡터를 자연스럽게 비교할 수 있습니다(평행이동). 그러나 휘어진 다양체에서는 "평행"이라는 개념이 자명하지 않습니다. 접속(Connection)은 다양체 위에서 벡터를 한 점에서 다른 점으로 "옮기는" 방법을 제공합니다.

공변미분 (Covariant Derivative)

다양체 $M$ 위의 아핀 접속(Affine Connection) $\nabla$는 벡터장 $X$를 따라 벡터장 $Y$를 미분하는 연산 $\nabla_X Y$를 정의하며, 다음 성질을 만족합니다.

1. $\nabla_{fX+gY}Z = f\nabla_X Z + g\nabla_Y Z$ ($C^\infty(M)$-선형)
2. $\nabla_X(Y+Z) = \nabla_X Y + \nabla_X Z$ ($\mathbb{R}$-선형)
3. $\nabla_X(fY) = (Xf)Y + f\nabla_X Y$ (라이프니츠 규칙)

좌표계 $\{x^i\}$에서 공변미분은 크리스토펠 기호(Christoffel Symbol) $\Gamma^k_{ij}$로 표현합니다.

레비-치비타 접속 (Levi-Civita Connection)

리만 다양체(Riemannian Manifold), 즉 매끄러운 다양체에 리만 계량(Riemannian Metric) $g$가 주어진 경우, 다음 두 조건을 만족하는 유일한 접속이 존재합니다.

1. 비틀림이 없음(Torsion-free): $\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y]$
2. 계량 호환(Metric-compatible): $\nabla_X g(Y, Z) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_X Z)$

이것을 레비-치비타 접속(Levi-Civita Connection)이라 하며, 크리스토펠 기호는 계량으로부터 다음과 같이 결정됩니다.

곡률 텐서 (Curvature Tensor)

접속으로부터 리만 곡률 텐서(Riemann Curvature Tensor)를 정의합니다.

이 텐서는 벡터를 작은 평행사변형을 따라 평행이동시켰을 때의 변화를 측정하며, 공간이 얼마나 "휘어져" 있는지를 나타냅니다. 리만 곡률 텐서가 항등적으로 0이면, 그 다양체는 (국소적으로) 유클리드 공간과 같습니다.

주다발 위의 접속 (Connection on Principal Bundle)

주다발(Principal Bundle) $\pi: P \to M$은 구조군(Structure Group) $G$가 올 위에 자유롭게 추이적으로 작용하는 올다발입니다. 벡터 다발은 주다발과 표현(Representation)으로부터 연관 다발(Associated Bundle)로 구성할 수 있습니다.

주다발 $P$ 위의 접속(Connection)은 접선 다발 $TP$를 수직 부분공간(Vertical Subspace)과 수평 부분공간(Horizontal Subspace)으로 분해하는 것입니다.

이 분해는 리 대수 $\mathfrak{g}$-값 1-형식인 접속 1-형식(Connection 1-form) $\omega \in \Omega^1(P, \mathfrak{g})$으로 기술합니다.

곡률 형식 (Curvature Form)

접속 1-형식 $\omega$의 곡률 2-형식(Curvature 2-form)은 구조 방정식(Structure Equation)으로 정의합니다.

이것은 $\mathfrak{g}$-값 2-형식이며, 접속의 수평 분포가 대합적인지(즉 곡률이 0인지)를 측정합니다. 비앙키 항등식(Bianchi Identity)은 다음과 같습니다.

특성 류 (Characteristic Classes)

특성 류(Characteristic Classes)는 벡터 다발(또는 주다발)의 위상적 성질을 코호몰로지 류(Cohomology Class)로 포착하는 불변량입니다. 다발이 자명한지, 얼마나 "꼬여" 있는지를 대수적으로 측정합니다.

체른 류 (Chern Classes)

체른 류(Chern Classes)는 복소 벡터 다발(Complex Vector Bundle) $E \to M$에 대하여 정의됩니다. $r$차 복소 벡터 다발의 제$k$ 체른 류 $c_k(E) \in H^{2k}(M; \mathbb{Z})$는 다음의 성질을 만족합니다.

1. 정규화: $c_0(E) = 1$이며, $k > r$이면 $c_k(E) = 0$
2. 자연성: $f^*(c_k(E)) = c_k(f^*E)$
3. 휘트니 곱 공식: $c(E_1 \oplus E_2) = c(E_1) \smile c(E_2)$ (여기서 $c = 1 + c_1 + c_2 + \cdots$는 총 체른 류)

곡률 형식 $\Omega$을 이용하면, 체른 류는 체른-바일 이론(Chern-Weil Theory)에 의하여 다음과 같이 계산합니다.

특히 제1 체른 류는 $c_1(E) = \frac{i}{2\pi}\mathrm{tr}(\Omega)$입니다.

폰트랴긴 류 (Pontryagin Classes)

폰트랴긴 류(Pontryagin Classes)는 실수 벡터 다발(Real Vector Bundle) $E \to M$에 대하여 정의됩니다. 제$k$ 폰트랴긴 류 $p_k(E) \in H^{4k}(M; \mathbb{Z})$는 복소화(Complexification) $E \otimes \mathbb{C}$의 체른 류로부터 정의합니다.

총 폰트랴긴 류는 $p(E) = 1 + p_1(E) + p_2(E) + \cdots$입니다. 접선 다발 $TM$의 폰트랴긴 류 $p_k(M) = p_k(TM)$은 다양체의 미분 구조에 대한 중요한 불변량입니다.

심플렉틱 기하학 (Symplectic Geometry) 개요

심플렉틱 기하학(Symplectic Geometry)은 고전역학의 해밀턴 형식론을 기하학적으로 정립한 분야입니다.

심플렉틱 다양체

심플렉틱 다양체(Symplectic Manifold)란 짝수 차원의 매끄러운 다양체 $(M^{2n}, \omega)$로서, 심플렉틱 형식(Symplectic Form) $\omega$가 다음 조건을 만족하는 것입니다.

1. 닫힘(Closed): $d\omega = 0$
2. 비퇴화(Non-degenerate): $\omega^n = \underbrace{\omega \wedge \cdots \wedge \omega}_{n} \neq 0$ (부피 형식)

정준 예시: $\mathbb{R}^{2n}$에 좌표 $(q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n)$을 부여하면, 정준 심플렉틱 형식은 다음과 같습니다.

더 일반적으로, 임의의 다양체 $Q$의 여접선 다발(Cotangent Bundle) $T^*Q$에는 자연스러운 심플렉틱 구조가 존재합니다.

다르부 정리 (Darboux's Theorem)

다르부 정리: 모든 심플렉틱 다양체는 국소적으로 $(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$와 심플렉틱 동형입니다. 즉, 리만 기하학과 달리 심플렉틱 기하학에는 국소 불변량이 없습니다. 심플렉틱 기하학의 흥미로운 현상은 모두 전역적입니다.

해밀턴 역학

해밀턴 함수 $H: M \to \mathbb{R}$에 대하여, 해밀턴 벡터장(Hamiltonian Vector Field) $X_H$는 다음으로 정의합니다.

해밀턴 운동방정식은 $X_H$의 적분 곡선입니다. 정준 좌표에서 이것은 다음의 해밀턴 방정식이 됩니다.

접촉 기하학 (Contact Geometry) 개요

접촉 기하학(Contact Geometry)은 심플렉틱 기하학의 홀수 차원 대응물로, 기하학적 광학과 열역학에서 자연스럽게 등장합니다.

접촉 구조

$(2n+1)$차원 다양체 $M$ 위의 접촉 구조(Contact Structure)란, 1-형식 $\alpha$에 의하여 국소적으로 $\xi = \ker \alpha$로 정의되는 $2n$차원 분포(초평면장)로서, 최대 비적분 조건(Maximal Non-integrability)을 만족하는 것입니다.

이 조건은 프로베니우스 정리의 조건과 정반대입니다. 접촉 분포는 어떤 부분다양체에도 접하여 적분될 수 없습니다.

정준 예시: $\mathbb{R}^3$에서 $\alpha = dz - y\,dx$로 정의되는 접촉 구조가 있습니다. 이 경우 접촉 초평면은 각 점에서 $z$축 주위로 비틀어진 평면입니다.

다르부 정리 (접촉 버전)

모든 접촉 다양체는 국소적으로 표준 접촉 구조 $(\mathbb{R}^{2n+1}, \alpha_0)$와 접촉 동형입니다. 여기서 좌표 $(x^1, \ldots, x^n, y_1, \ldots, y_n, z)$에 대하여 다음과 같습니다.

레겐드르 부분다양체

접촉 다양체 $(M^{2n+1}, \xi)$의 $n$차원 부분다양체 $L$이 레겐드르 부분다양체(Legendrian Submanifold)이라 함은, 모든 점에서 $T_pL \subseteq \xi_p$인 것, 즉 부분다양체가 접촉 분포 안에 완전히 포함되는 것을 의미합니다.

정리